第一章 随机事件

确定性现象是指事前可以预知结果的，即在某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知它将来的 发展状态。

偶然性现象是指事前不能预知结果的，即在相同的条件下重复进行实验时，每次所得到的结果未必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的发展状态。

我们学习《概率论与数理统计》研究的是随机现象，虽然是随机现象，但经过前人的研究发现，随机中有偶然性也有必然性，是一门值得深入研究的学科。

1.1 基本概念

1.1.1 随机试验

​ 满足下列条件的试验称为随机试验。

​ （1）可以在相同的条件下重复地进行；

​ （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

​ （3）进行依次试验之前不能确定哪一个结果会出现；

1.1.2 样本空间

​ 我们研究随机现象的方法其实就是利用已知知道的规律来分析未知，既然随机试验的所有可能结果我们都能事先知道，那我们先把这些结果列出来。

​ （1）样本点：随机试验的每一个可能结果称为一个样本点；

​ （2）样本空间$\Omega$：所有样本点全体组成的集合称为样本空间；

1.1.3 随机事件

​ 随机现象往往是通过一个具体情况或具体事件出现的，比如"仍骰子扔出的点数是偶数"这个事件，相当于给扔出的点数又附加了一个条件，它的所有可能结果写成集合为{2,4,6},我们会发现这个集合是样本空间的一个子集。

​ （1）随机事件：样本空间$\Omega$的子集称为随机事件，通常用大写字母$A、B、C$等表示；

​ （2）基本事件：由单个样本点组成的单点集；

​ （3）事件发生：在每次实验中，当且仅当时间的结果集合中一个样本点出现时，称这一事件发生；

​ （4）必然事件：在每次试验中总是发生的，称为必然事件。记为$\Omega$。必然事件包含样本空间所有的样本点。

​ （5）不可能事件：在任意一次试验中都不会发生的事件称为不可能事件，记做$\emptyset$。它也是样本空间子集。

1.2 事件的关系及运算

1.2.1 事件的关系

名称符号事件发生角度理解集合定义
B包含于AA$\subset$B事件A发生必有事件B发生A是B的子集
A与B相等A=B事件A发生必有B发生，且事件B发生必有事件A发生A与B所包含样本点相同
A与B的和A$\bigcup$B或A+B事件A$\bigcup$B发生$\Leftrightarrow$事件A发生或事件B发生A与B的并集
A与B的积A$\bigcap$B或AB事件A$\bigcap$B发生$\Leftrightarrow$事件A发生且事件B发生A与B的交集
A与B的差A-B、A-AB、A$\vec{B}$事件A-B发生$\Leftrightarrow$事件A发生且事件B不发生属于A而不属于B的样本点构成的集合
A与B互斥AB=$\emptyset$事件A与事件B不会同时发生A与B没有共同的样本点
A的对立事件${\vec{A}}$每次试验事件A与试验$\vec{A}$有一个发生且仅有一个发生A$\bigcup$$\vec{A}$=S,A$\vec{A}$=$\emptyset$

1.2.2 事件运算的性质

tips：懒得码公式了，这里直接放上高数叔课件上的公式（长杠变短杠，开口换方向）

1.2.3 习题

1.3 事件的概率

1.3.1 频率

在大量重复试验下，随着试验次数的增加，一个事件A出现的频率总在一个固定的数值附近摆动，我们把这个"固定的数"称为事件A的概率。

1.3.2 概率的定义

1.3.3 概率的性质

（1）$P(\emptyset)=0,P(\Omega)=1$;

（2）有限可加性：设$A_1、A_2{\cdots}A_n$是两两互不相容的事件，则有$P(A_1{\bigcup}A_2{\bigcup}{\cdots}{\bigcup}A_n) = P(A_1)+P(A_2){\cdots}P(A_n)$;

（3）逆事件的概率：对于任意事件A，有$P({\vec{A}}=1-P(A))$;

（4）减法公式：设$A、B$是两个事件，$P(A-B) = P(A)-P(AB) = P(A{\vec{B}})$。特别的若$A{\subset}B,则有P(A){\leq}P(B),且P(B-A)=P(B)-P(A)$;

（5）加法公式：对于任意两个随机事件A、B有： $P(A{\bigcup}B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

注：$P(A{\bigcup}B{\bigcup}C)=P(A)+P(B)+P©-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

1.3.4 习题

1.4 古典概型

1.4.1 古典概型定义

定义：一个试验的样本点有限，并且每个样本点出现的可能性都相等，那这个试验就是古典概型（等可能概型），比如掷骰子，每个点数出现的可能性都是$\frac{1}{6}$。

1.4.2 计算方法

（2）计算方法：$P(A)=\frac{A中基本的事件数}{基本事件总数n}$；比如A=掷骰子扔出奇数，则$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

1.4.3 习题

1.5 几何概型

1.5.1 几何概型的定义

定义：如果试验$E$是从某一线段（或平面、空间中有界区域）$Ω$上取一点，并且所取的点位于$Ω$中任意两个长度（或平面、体积）相等的子区间（子区域）内的可能性相同，则所取得点位与$Ω$中的任意子区间（或子区域）$A$内这一事件(仍记作$A$)的概率为：$P(A) = \frac{A的长度(面积、体积)}{Ω的长度(或面积、体积)}$，与古典概型不同的是，几何概型的样本点无穷多

1.5.2 习题

1.5.3 蒲丰投针问题

1.6 条件概率

1.6.1 条件概率的定义

定义：条件概率$P(B|A)$表示已知事件$A$发生的情况下事件$B$发生的概率：$P(B|A) = \frac {P(AB)}{P(A)},(P(A)>0)$，和$P(AB)$不同点在于两中概率的样本空间不同，前者是$A$后者是$Ω$。

1.6.2 条件概率的性质

① $0{\leq}P(B|A){\leq}1$

② $P(Ω|A)=1$

③ $P(A^`|B) = 1 - P(A|B)$

④ $P(A+B|C) = P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)$

1.6.3 乘法公式

若$P(A)>0,P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$,则$P(AB) = P(B|A)P(A)$

1.6.4 习题

1.7 全概率公式和贝叶斯公式

1.7.1 全概率公式

1.7.2 贝叶斯公式

1.7.3 习题