第一章 矢量分析

1.1 矢量的基本概念

矢量是指既有大小又有方向的量，又叫向量。如：力、加速度、速度等。

矢量是指只有大小和正负就能表示的量。如：长度、质量、温度等。

注：矢量的方向表明矢量具有方向性。标量的正负值表明其值相对于参考点的高低。它并不代表向量有方向。

1.2 常见的矢量

1.2.1 常矢量

常矢量表示大小和方向都不发生变化的矢量。常用大写矢量$\vec{C}$表示。如：匀速直线运动的速度$\vec{V}$,匀强电场中的电场$\vec{E}$。

1.2.2 单位矢量

单位矢量表示膜值为1个单位的矢量，常用符号$\vec{e}$。单位矢量用来表示矢量方向。如：矢量$\vec{A}$的单位矢量为$\vec{e_A}$，矢量$\vec{A}$可以表示为：$A\vec{e}$。

注：单位矢量未必是常矢量。单位矢量大小为1个单位，但方向未必不变。如：直角坐标系各轴上的单位矢量$\vec{e_x}、\vec{e_y}、\vec{e_z}$也常用$i,j,k$表示。

1.2.3 位置矢量

位置矢量是指用于描述研究对象所在位置的矢量，也称位矢，常用$\vec{r}$表示。它用来描述研究对象所在点相对参考点的偏离情况。

1.2.4 特征矢量

特征矢量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。(俺也不懂)

注：位置矢量和特征矢量的区别和联系

① 两者对坐标系的依赖程度不一样：位置矢量随坐标系变化而受到影响但特征矢量随坐标系变化不受影响，只是表达式会有不同。

② 二者的作用不同：位置矢量描述研究对象相对于坐标系原点的偏移情况。而特征矢量描述点本身的特征。

③ 二者的参考点不同：位置矢量起点在参考原点，描述相对原点的唯一；特征矢量起点在位置矢量末端，描述在该点的特征状态。

④ 二者的单位不同：位置矢量的描述量是坐标值；特征矢量的描述量是特征量的物理值。

1.3 矢量的描述

手写体：$\vec{A}$；

矢量的模：$|A|$；

矢量的方向：$\vec{e_A} = \frac{A}{|A|}$

注：矢量$\vec{e_A}$是单位矢量，未必是常矢量。$\vec{e_A}$的方向会随矢量$\vec{A}$的方向变化而变化。若矢量$\vec{A}$为常矢量，则$\vec{e_A}$也是常矢量。

矢量也可以用几何图形表示，如下：

1.3.1 正交坐标系中的表示方法

在任一正交坐标系中，矢量的表示是唯一的。直角坐标轴上的三个单位矢量为$e_x,e_y,e_z$，这里三个单位矢量都是常矢量。未知矢量$\vec{A}$在直角坐标系中可描述为：$A = {e_x}{A_x}+{e_y}{A_y}+{e_z}{A_Z}$。

在直角坐标系中$r(x,y,z)$为位置矢量，且有：$x = rcos(\alpha)、y = rcos(\beta)、z = rcos(gamma)$。矢量$\vec{A}$(x,y,z)与位置矢量$\vec{r}$(x,y,z)不同。（位置矢量和特征矢量）

① 研究对象位于P点，其坐标是(x,y,z)；

② 位置矢量$\vec{r}$(x,y,z)描述P相对于原点O的偏离。

③ 矢量$\vec{A}$(x,y,z)描述P点出，研究对象的物理特征的状态，是一个特征矢量。

1.3.2 柱坐标系中的表示方法

柱坐标系三个坐标变量分别为${\rho}、{\phi}、z$。相关的单位矢量分别为$\vec{e_{\rho}}、\vec{e_{\phi}}、\vec{e_{z}}$。柱坐标系中只有单位矢量$\vec{e_z}$是常矢量。

矢量$\vec{A}$在P点处，其在三个坐标轴上的投影分别为$\vec{A_p}、\vec{A_{\phi}}、\vec{A_z}$。

矢量$\vec{A}$在柱坐标系$\vec{A}$可表示为：$A = e_{\rho}{A_{\rho}}+e_{\phi}{A_{\phi}}+e_{z}{A_{z}}$。

1.3.3 球坐标系中的表示方法

球坐标系中的单位矢量分别为：$e_{\gamma}、e_{\theta}、e_{\phi}$。位置矢量$\vec{r}$在$e_{\gamma}、e_{\theta}、e_{\phi}$上的投影分别为为：r、0，、0。

位置矢量$\vec{r}$在球坐标系中的描述为：$\vec{r}$(${\gamma}$,${\theta}$,${\phi}$)=$e_{r}r$

1.4 矢量的代数运算

1.4.1 加减运算

矢量与矢量之间的加减，结果仍为矢量。

按照平行四边形法则求两矢量之和，余弦定理可求和矢量的模。太简单了我就不写了

1.4.2 内积运算

博主觉得有点简单而且码字太费时间，这就直接上PPT了(_)。但是要注意如果你对柱坐标系和球坐标系不熟悉，还请务必看一下这一部分的最后两章PPT。

正向垂直的顺序：正交坐标系（x,y,z）,柱坐标系（$\rho$,$\phi$,z）,球坐标系（$\gamma$、$\theta$、$\phi$）

1.4.3 叉积运算

1.4.5 混合积运算

1.4.6 习题