《信号与线性系统分析》学习记录
大二下学期,在本周算是正式开学了,昨天接触了我考研要考的专业课《信号与系统》,为了自己能够更好的学习这门专业课,所以萌生了使用博客写学习记录的想法,算是自我监督了,加油。
一、信号与系统
1.1 绪言
1.1.1 统筹概念
学校使用的书目为吴大正老师的《信号与线性系统分析》。绪言部分主要介绍相关的知识背景,通过这门课我们能学到什么,并且对整本书知识进行整理。
首先我们需要掌握信号的基本概念以及分类
下面是一些小问题:
① 什么是消息?
答:人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。
② 什么是信息?
答:消息中有意义的内容称为信息。
③ 什么是信号?
答:信号是信息的载体,通过信号传递信息。(信号是信息的一种表达方式)(如上课铃响的声信号,十字路口的红绿灯是光信号,电视机天线接收的电视信息是电信号。日常生活中的文字信号、图像信号、生物电信号等,都是信号)
④ 什么是系统?
答:一般认为,系统是指若干相互关联、相互作用的事物按照一定规律组合而成的具有特定功能的整体。(发射和接收信号的设备、工具、人体消化系统等都可以视为系统)(系统具有传递、处理的作用)
总结:信息是消息中有意义的内容,信号是信息的载体,信号用于传递信号,系统具有传递和处理信号的作用
那么学习《信号与系统》我们主要是在研究什么?我们可以将输入的信号看作一个函数$ f(x) $,系统看作黑箱它完成对输入信号的处理这里表达为函数$ g(x) $,输出信号为$ y $。那么我们可以通过数学方法表达这样的一个过程:$ y=g(f(x)) $。我们完全可以知二求一。
关于本书整体框架的一个总结,熟读目录本书共有8章,我们大体可以对所要学的知识按照以下方式分类,个人更喜欢第二种按照时间域、频域
的方式进行分类
1.1.2 小芝士
① 信息:是信息论的一个术语,通常把消息中有意义的内容称为信息。某事件发生的信息量可定义为$ I=-logP(x)$,其中$P ( x )$ 为事件$ x$的概率,当取2
为底的对数时,信息量的单位为bit
。
② 人耳可听的声音有一定的频率范围(20-20K Hz)和一定的声压级范围(0-120dB)。
③ 电脑主机的组成:CPU、显卡、主板、内存、硬盘、显示器、机箱、光驱、键盘、鼠标和散热系统。
④ 目前流行的主板厂商有哪些:msi微星、技嘉、七彩虹、铭瑄、昂达、影驰、华擎、华硕、梅捷等。
⑤ 信号理论包括:信号分析、信号传递、信号处理和信号综合。
⑥ 系统理论包括:系统分析和系统综合。
1.2 信号
1.2.1 信号的描述
按照第一节我们将信号描述为一个函数那么我们可以说:信号是携带信息的独立变量的函数
。信号是信息的一种物理体现,一般是随时间或者位置变化的物理量。电信号的基本形式是随时间变化的电压或电流。
描述信号的方法一般有两种:①表示为时间的函数
;②更为直观的描述为信号的图形表示--波形
。“信号”与“函数(或者序列)”两个词互相通用。
1.2.2 信号的分类
信号按照物理属性分:电信号与非电信号。它们可以相互转换。例如:扩音器将声信号转化为电信号等。
信号按照实际用途分:电视信号、雷达信号(2023年3月6日我国著名雷达专家王小谟院士去世,该章知识点于3月8日更新,哀悼)、控制信号、通信信号、广播信号等。
信号按照所具有的时间特性划分:确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期信号与非周期信号、实信号与复信号、能量信号与功率信号、一维信号与多维信号、因果信号与反因果信号、左边信号与右边信号等。(书上主要按照该分类方法进行信号的分类及介绍)
1.2.2.1 确定信号与随机信号
确定信号是指可用确定的时间函数表示的信号
,即可以写出一个确定的时间(或者其他自变量)的函数来表示该信号,如:$ sin(t)、cos(3{\pi}t+{\pi}) $等。
随机信号指信号不能用确切的函数描述,只可能知道它的统计特性比如概率,如:电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。
伪随机信号指貌似随机而严格遵循严格规律产生的信号(为随机码),主要用用途是加密
,如:摩斯密码等。
1.2.2.2 连续信号与离散信号
根据信号定义域的特点可以分为连续信号
和离散信号
。
连续信号是指在连续时间范围内$(-\infty < t <+\infty) $有定义的信号,简称连续信号。这里的连续
是指定义域连续,值域可以连续也可以不连续。注意:若其函数值域也连续,常称为模拟信号。因此$ 连续信号{\neq}模拟信号 $
离散信号是指仅在一些离散的瞬间才有定义的信号,简称离散信号;当取值为规定数值
时,常称为数字信号
。定义域----时间是离散的,它只在某些规定的离散瞬间给出函数值,其余时间无定义。如下图的$f(t)$仅在一些离散时刻$t_k(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$才有定义,其余时间无定义。
当信号离散点的时间间隔相同,均为T时,离散信号可以表示为$f(kT)$,简写为$f(k)$,也常称为序列。其中k称为序号,通常将对应某序号k的序列值称为第k个样点的“样值”,用表达式可以表示为:$ f(x)=\begin{cases} 1 & k=-1 \ 2 & k=0 \ -1.5 & k=1 \ 2 & k=2 \ 0 & k=3 \ 1 & k=4 \ 0 & 其他k \end{cases} $,或者写为如下的形式,我更喜欢后者简洁
1.2.2.3 周期信号与非周期信号
周期信号定义在$(-\infty,+\infty)$区间,每隔一定时间T(或整数N),按相同规律重复变化的信号(划重点整数N;)
连续周期信号满足$ f(t)=f(t+mT),m=0,\pm1,\pm2,\cdots $,离散周期信号满足$ f(k)=f(k+mN), m=0,\pm1,\pm2,\cdots$
连续信号的周期:① 典型周期连续信号$ f(t)=cos(wt) $,周期为:$T=\frac{2\pi}{w}$。
② 两个周期信号的周期分别为$T_1$和$T_2$,若$ \frac{T_1}{T2} $为有理数,则周期信号之和仍然为周期信号,其周期为$T_1$和$T_2$的最小公倍数。
离散信号的周期:离散信号的周期是否存在,存在如何求证明如下:
总结:① 连续正弦信号一定是周期信号,而正弦序列不一定是周期序列。
② 两连续周期信号之和不一定是周期信号,而两周期序列之和一定是周期序列。
1.2.2.4 能量信号与功率信号
电学中能量的一般表达式为:$W=I^2RT$,扩展到一般情况表达为积分形式。
将信号$f(t)$施加于$10Ω$电阻上,它所消耗的瞬时功率位$|f(t)^2|$,在区间$(-\infty, +\infty)$的能量和平均功率定义为① 信号的能量$E=\int_{-\infty}^{+\infty}{ {|f(x)|}^2 }{\rm d}t$。② 信号的功率$P=\lim_{ {a} \rightarrow {\infty} }{ \frac{1}{2a} { \int_{-a}^{a} { {|f(t)|}^2 }{\rm d}t}}$。由公式可以看出,若信号$f(t)$的能量有界,即$E<\infty$,则称其为能量有限,简称能量信号
。此时$P=0$。若信号$f(t)$的功率有界,即$P<\infty$,则称其为功率有限信号,简称功率信号
。此时$ P=\infty $。
因为离散信号是间断的,所以不能求积分,那就求和
对于离散信号,也有能量信号、功率信号之分。若满足$ E=\lim_{ {N} \rightarrow {\infty} }{\sum_{k=-N}^{N} { { |f(k)| }^2 } }$的离散信号,称为能量信号
。若满足$ P= \lim_{ {N} \rightarrow {\infty} } { \frac {1}{2N+1} }{ \sum_{k=-N}^{N} }{ {|f(k)|}^2 }$的离散信号,称为功率信号
。
总结:①一般周期信号为功率信号。
② 时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。
③ 还有一些非周期信号,也是非能量信号。例如:ε(t)是功率信号;而tε(t)、et为非功率非能量信号;δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
1.2.2.5 一维信号与多维信号
一维信号是指只由一个自变量描述的信号,如语音信号等。
多维信号是指由多个自变量描述的信号,如图像信号等。
还有其他分类,如:
① 实信号与复信号
② 左信号与右信号
③ 因果信号与反因果信号
1.2.3 典型确定信号
1.2.3.1 指数信号
指数信号表达式:$f(t)=Ke^{\alpha t}$,其函数图如下:
单边指数信号$f(t)=\begin{cases} 0&t<0 \ e& t{\geq}{-\frac{1}{\iota}} \end{cases}$,函数图像如下:
1.2.3.2 正弦信号
正弦信号表达式:$f(t)=Ksin({\omega}t+\theta)$,其函数图如下:
1.2.3.3 复指数信号
复指数信号表达式:$f(t) = Ke^{st} = Ke^{({\sigma+j{\omega}})t} = Ke^{\sigma t}·e^{j \omega t} = Ke^{\sigma t}cos({\omega t})+Ke^{\sigma t}sin({\omega})$
1.2.2.4 抽样信号
抽样信号表达式:$Sa(t)=\frac{sint}{t}$(重要极限,极限为1)
① $Sa(-t)=Sa(t)$,偶函数
② $t=0,Sa(t)=1,即\lim_{t{\rightarrow}0}Sa(t)=1$
③ $Sa(t)=0,t={\pm}n{\pi},n=1,2,3{\cdots}$
④ $\int_{0}^{\infty}{\frac{sint}{t}}{\rm d}t={\frac{\pi}{2}},\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{sint}{t}{\rm d}t}=\pi$
⑤ $\lim_{t\rightarrow{\pm {\infty}}}Sa(t)=0$
⑥ $sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}$
1.2.4 小芝士
pass
1.3 信号的基本运算
信号的基本运算包括:信号的加
、乘
、平移
、反转
和尺度变换
。
1.3.1 信号的加法和乘法
信号$f_1(·)$和$f_2(·)$之和(瞬时和)是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号
”,即:$f(·) = f_1(·) + f_2(·)$。例如:调音台是将音乐与语言混合到一起。
信号$f_1(·)$和$f_2(·)$之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号
”,即:$ f(·) = f_1(·)f_2(·) $,例如:收音机的调幅信号是将音频信号$f_1(t)$加载到被称为载波的正弦信号$f_2(t)$上。
离散序列相加(或相乘)可采用对应样本点的值相加(或相乘)的方法计算。
注意这里的序列的加或乘运算,当界定限制为$-2{\leq}k{\leq}0$,因为是序列所以应该是确定值-2, -1
1.3.2 信号的反转
将$f(t) → f(–t)$, $f (k) →f(–k)$称为对信号$f(·)$的反转或反折。没有可实现信号反转的实际器件,但是数字信号处理中可以实现这一概念,如堆栈中的"先进后出"。
从图形上看是将$f(·)$以纵坐标为轴反转$180°$。如
1.3.3 信号的平移
将$f(t) →f(t–t_0)$,$f(k) →f(k–k_0)$称为对信号$f(·)$的平移或移位。若$t0(或k_0) >0$,则将$f(·)$右移,否则左移。左加右减。例如:雷达接收的目标回波信号比发射信号延迟了时间$t_0$,利用该延迟时间$t_0$可以计算出目标与雷达之间的距离。这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
1.3.4 信号的尺度变换
将$ f (t) → f (a t)$ , 称为对信号$f (t)$的尺度变换。若$a >1$ ,则波形沿横坐标压缩;若$0< a < 1$ ,则扩展 。
1.3.5 练习题
总结:混合运算时,三种运算的次序可任意。但一定要注意一切变换都是相对t 而言。通常,对正向运算,先平移,后反转和展缩不易出错;对逆运算,反之。
1.3.6 小芝士
1.4 阶跃函数和冲击函数
阶跃函数
和冲击函数
不同于普通函数(对于离散时间信号来说:阶跃序列
和单位样值序列
),称为奇异函数。所谓奇异函数是指:函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数。
1.4.1 阶跃函数
1.4.1.1 阶跃函数的定义
采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。我们选定一个函数序列${\gamma}_n (t)$局部斜升函数
如下图所示,这里$\frac{1}{2}$的出现可以参考书上$P3$上的解释,其实并不重要。
1.4.1.2 延迟单位阶跃函数
这里体现了阶跃函数的一个重要作用:表示其他函数。其实节约函数还具有做开关
,限制积分上下限
的重要作用。
1.4.1.3 阶跃函数的性质
① 方便的表示某些信号。例如:$f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2) $
利用移位阶跃函数也可以表示门信号,例如:${g_r}(t) = \delta {(t+{\frac{\tau}{2}})} - \delta {(t-{\frac{\tau}{2}})}$,${g_r}(t)$我们常称为门函数,其宽度为$\tau$,幅度为1。
② 用阶跃函数表示信号的作用区间
③ 积分 $ \int_{-\infty}^{t}{\varepsilon (\tau)}{\rm d}{\tau} = t \varepsilon(\tau) = {\varepsilon (t)} * {\varepsilon (t)} (卷积)$,$ \int_{-\infty}^{+\infty}{ t \varepsilon (\tau)}{\rm d}{t} = \int_{2}^{+\infty}{t \varepsilon (t-2)}{\rm d}t = \int_{2}^{+\infty}{t}{\rm d}t$
1.4.2 冲激函数
1.4.2.1 冲激函数的定义
单位冲激函数是个奇异函数,它是对强度极大,作用时间极短一种物理量的理想化模型。
① 狄拉克定义
狄拉克定义冲激函数为两个式子,如下
$$
\begin{cases}
\delta (t) = 0 & t{\neq}0 \
\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(t)}{\rm d}t = 1 & t = 0 \
\end{cases}
$$
式子中$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(t)}{\rm d}t = 1$的含义是该函数波形下的面积为1
。
② 函数序列定义
冲击函数$\delta (t)$表示在$t=0$处的冲击,在$t=t_1$处出现的冲击可以表示为$\delta (t-t_1)$。如果$a$是常数,则$a \delta (t)$表示出现在$t=0$处,强度为$a$的冲击函数。如果$a$为负值,则表示强度为$|a|$的冲击。冲激函数$\delta (t - t_1)$和$a \delta (t)$如下图所示
1.4.2.2 冲击偶的定义
$\delta (t)$ 的一阶导数${\delta (t)}^{\prime}$称为脉冲偶
,它也可以对一个普通函数区极限得到,如下图所示。如图所示为三角形脉冲$f_{\Delta} (t)$,其底宽为$2\tau$,高度为$\frac{1}{\tau}$,波形下面积等于1。当${\tau} {\rightarrow} 0$时,$f_{\Delta} (t)$成为单位冲击函数
;三角形脉冲的一阶导数$f_{\Delta}^{\prime} (t)$,是正、负性的两个面积相等的矩形脉冲波。当${\tau} {\rightarrow} 0$,$f_{\Delta}^{\prime} (t)$成为两个正、负不同极性的两个脉冲,其强度为无穷大
,由此可见,$\delta (t)$的一阶导数$ {\delta (t)} ^ {\prime} $的面积为零,即:$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = 0$。扩展:$\int_{-\infty}^{t}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = {\delta (t)}$。为了方便我们常常省去负冲击。
1.4.2.3 冲击函数的导数和积分
上述我们对冲击偶
求积分得到$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = 0$,$\int_{-\infty}^{t}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = {\delta (t)}$,那么对冲激函数求导数和积分又怎么样呢?
有很多广义函数的知识,我们没有做要求,有能力自己看书吧。这里丢出结论:$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta (t)}{\rm d}t = 1$,我们可以根据冲激函数的定义出发得到该积分值为面积1。
1.4.2.4 冲击函数的性质
① 与普通函数的乘积
按广义函数的定义和冲击函数的取样性质,有:$\int_{- \infty}^{+ \infty}{[\delta (t) f(t)] \psi (t)}{\rm d}t = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\delta (t) [f(t) \psi (t)]}{\rm d}t = f(0) \psi (0)$。另一方面$\int_{- \infty}^{+ \infty}{[\delta (t) f(0)] \psi (t)}{\rm d}t = f(0) \psi (0)$。由上述两式得,$f(t) \delta (t) = f(0) \delta (t)$,$\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(t) \delta (t)}{\rm d}t = f(0)$。注意,这里不求积分时$\delta (t)$一定要带上。
如果将$f(t)$与$\delta (t)^{\prime}$相乘,得到如下的性质:$ {f(t)} {\delta {(t)} ^ {\prime}} = { f(t) |}_{t=0} {\delta {(t)} ^ {\prime}} - { {f(t)}^{\prime} |} _ {t=0} { \delta {(t)} }$,$ \int _ {-\infty}{+\infty} {f(t)} {\delta {(t)} ^ {\prime}} {\rm d}t = {-f(0)} ^ {\prime} $
② 移位
$\delta (t)$表示在$t = 0$处的冲击,在$t = t_1$处的冲击可以表示为$\delta (t-t_1)$,式中$t_1$为常数,则上述和普通函数的乘积
性质做出如下如下变化:
$f(t) \delta (t-t_1) = f(t_1) \delta (t-t_1)$,$\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(t) \delta (t-t_1)}{\rm d}t = f(t_1)$和$ {f(t)} \delta {(t)} ^ {\prime} = {f(t)|} _ {t=t_1} \delta {(t-t_1)}^{ {\prime} } - {f(t)} ^{ {\prime}} | _ {t=t_1} \delta {(t-t_1)} $,$ \int_{-\infty}^{+\infty}{f(t) \delta (t-t_1)^{\prime}}{\rm d}t = -f(t)^{\prime} |_{t=t_1} $
③ 尺度变换
阿西吧,推导好难呀,先给自己留个坑,后面慢慢填。这里丢出结论:$\delta (at) = \frac{1}{|a|} \delta (t)$。类似的,对于$ \delta (at) $的一阶导数有:$\delta^{(1)} (at) = \frac{1}{|a|} · \frac{1}{a} \delta^{(1)} (t)$。这里之所以多出来一个$\frac{1}{a}$可以看作是复合函数求导得到的。类推,我们得到$\delta (at)$的$n$J阶导数$\delta^{(n)} (at) = \frac{1}{|a|} · \frac{1}{a^n} \delta^{(n)} (t)$
④ 奇偶性
对于式子$\delta^{(n)} (at) = \frac{1}{|a|} · \frac{1}{a^n} \delta^{(n)} (t)$,若取$a = -1$得到$\delta^{(n)} (-t) =(-1)^n \delta^{(n)} (t)$,这表明当$n$为偶数时,有$\delta^{(n)} (-t) = \delta^{(n)} (t)$,可以看作是$t$的偶函数。当$n$为奇数时,有$\delta^{(n)} (-t) =- \delta^{(n)} (t)$,可以看作是$t$的奇函数。