《信号与线性系统分析》学习记录

大二下学期，在本周算是正式开学了，昨天接触了我考研要考的专业课《信号与系统》，为了自己能够更好的学习这门专业课，所以萌生了使用博客写学习记录的想法，算是自我监督了，加油。

一、信号与系统

1.1 绪言

1.1.1 统筹概念

学校使用的书目为吴大正老师的《信号与线性系统分析》。绪言部分主要介绍相关的知识背景，通过这门课我们能学到什么，并且对整本书知识进行整理。

首先我们需要掌握信号的基本概念以及分类下面是一些小问题：

① 什么是消息?

答：人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。

② 什么是信息？

答：消息中有意义的内容称为信息。

③ 什么是信号?

答：信号是信息的载体，通过信号传递信息。（信号是信息的一种表达方式）（如上课铃响的声信号，十字路口的红绿灯是光信号，电视机天线接收的电视信息是电信号。日常生活中的文字信号、图像信号、生物电信号等，都是信号）

④ 什么是系统？

答：一般认为，系统是指若干相互关联、相互作用的事物按照一定规律组合而成的具有特定功能的整体。（发射和接收信号的设备、工具、人体消化系统等都可以视为系统）（系统具有传递、处理的作用）

总结：信息是消息中有意义的内容，信号是信息的载体，信号用于传递信号，系统具有传递和处理信号的作用

那么学习《信号与系统》我们主要是在研究什么？我们可以将输入的信号看作一个函数$ f(x) $，系统看作黑箱它完成对输入信号的处理这里表达为函数$ g(x) $，输出信号为$ y $。那么我们可以通过数学方法表达这样的一个过程：$ y=g(f(x)) $。我们完全可以知二求一。

关于本书整体框架的一个总结，熟读目录本书共有8章，我们大体可以对所要学的知识按照以下方式分类，个人更喜欢第二种按照时间域、频域的方式进行分类

1.1.2 小芝士

① 信息：是信息论的一个术语，通常把消息中有意义的内容称为信息。某事件发生的信息量可定义为$ I=-logP(x)$，其中$P ( x )$ 为事件$ x$的概率，当取2为底的对数时，信息量的单位为bit。

② 人耳可听的声音有一定的频率范围（20-20K Hz）和一定的声压级范围（0-120dB）。

③ 电脑主机的组成：CPU、显卡、主板、内存、硬盘、显示器、机箱、光驱、键盘、鼠标和散热系统。

④ 目前流行的主板厂商有哪些：msi微星、技嘉、七彩虹、铭瑄、昂达、影驰、华擎、华硕、梅捷等。

⑤ 信号理论包括：信号分析、信号传递、信号处理和信号综合。

⑥ 系统理论包括：系统分析和系统综合。

1.2 信号

1.2.1 信号的描述

按照第一节我们将信号描述为一个函数那么我们可以说：信号是携带信息的独立变量的函数。信号是信息的一种物理体现，一般是随时间或者位置变化的物理量。电信号的基本形式是随时间变化的电压或电流。

描述信号的方法一般有两种：①表示为时间的函数；②更为直观的描述为信号的图形表示--波形。“信号”与“函数（或者序列）”两个词互相通用。

1.2.2 信号的分类

信号按照物理属性分：电信号与非电信号。它们可以相互转换。例如：扩音器将声信号转化为电信号等。

信号按照实际用途分：电视信号、雷达信号（2023年3月6日我国著名雷达专家王小谟院士去世，该章知识点于3月8日更新，哀悼）、控制信号、通信信号、广播信号等。

信号按照所具有的时间特性划分：确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期信号与非周期信号、实信号与复信号、能量信号与功率信号、一维信号与多维信号、因果信号与反因果信号、左边信号与右边信号等。（书上主要按照该分类方法进行信号的分类及介绍）

1.2.2.1 确定信号与随机信号

确定信号是指可用确定的时间函数表示的信号，即可以写出一个确定的时间（或者其他自变量）的函数来表示该信号，如：$ sin(t)、cos(3{\pi}t+{\pi}) $等。

随机信号指信号不能用确切的函数描述，只可能知道它的统计特性比如概率，如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。

伪随机信号指貌似随机而严格遵循严格规律产生的信号（为随机码），主要用用途是加密，如：摩斯密码等。

1.2.2.2 连续信号与离散信号

根据信号定义域的特点可以分为连续信号和离散信号。

连续信号是指在连续时间范围内$(-\infty < t <+\infty) $有定义的信号，简称连续信号。这里的连续是指定义域连续，值域可以连续也可以不连续。注意：若其函数值域也连续，常称为模拟信号。因此$ 连续信号{\neq}模拟信号 $

离散信号是指仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号；当取值为规定数值时，常称为数字信号。定义域----时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。如下图的$f(t)$仅在一些离散时刻$t_k(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$才有定义，其余时间无定义。

当信号离散点的时间间隔相同，均为T时，离散信号可以表示为$f(kT)$,简写为$f(k)$,也常称为序列。其中k称为序号，通常将对应某序号k的序列值称为第k个样点的“样值”，用表达式可以表示为：$ f(x)=\begin{cases} 1 & k=-1 \ 2 & k=0 \ -1.5 & k=1 \ 2 & k=2 \ 0 & k=3 \ 1 & k=4 \ 0 & 其他k \end{cases} $，或者写为如下的形式，我更喜欢后者简洁

1.2.2.3 周期信号与非周期信号

周期信号定义在$(-\infty,+\infty)$区间，每隔一定时间T(或整数N)，按相同规律重复变化的信号(划重点整数N；)

连续周期信号满足$ f(t)=f(t+mT),m=0,\pm1,\pm2,\cdots $，离散周期信号满足$ f(k)=f(k+mN), m=0,\pm1,\pm2,\cdots$

连续信号的周期：① 典型周期连续信号$ f(t)=cos(wt) $，周期为：$T=\frac{2\pi}{w}$。

② 两个周期信号的周期分别为$T_1$和$T_2$，若$ \frac{T_1}{T2} $为有理数，则周期信号之和仍然为周期信号，其周期为$T_1$和$T_2$的最小公倍数。

离散信号的周期：离散信号的周期是否存在，存在如何求证明如下：

总结：① 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。

② 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

1.2.2.4 能量信号与功率信号

电学中能量的一般表达式为：$W=I^2RT$，扩展到一般情况表达为积分形式。

将信号$f(t)$施加于$10Ω$电阻上，它所消耗的瞬时功率位$|f(t)^2|$，在区间$(-\infty, +\infty)$的能量和平均功率定义为① 信号的能量$E=\int_{-\infty}^{+\infty}{ {|f(x)|}^2 }{\rm d}t$。② 信号的功率$P=\lim_{ {a} \rightarrow {\infty} }{ \frac{1}{2a} { \int_{-a}^{a} { {|f(t)|}^2 }{\rm d}t}}$。由公式可以看出，若信号$f(t)$的能量有界，即$E<\infty$，则称其为能量有限，简称能量信号。此时$P=0$。若信号$f(t)$的功率有界，即$P<\infty$，则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时$ P=\infty $。

因为离散信号是间断的，所以不能求积分，那就求和

对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。若满足$ E=\lim_{ {N} \rightarrow {\infty} }{\sum_{k=-N}^{N} { { |f(k)| }^2 } }$的离散信号，称为能量信号。若满足$ P= \lim_{ {N} \rightarrow {\infty} } { \frac {1}{2N+1} }{ \sum_{k=-N}^{N} }{ {|f(k)|}^2 }$的离散信号,称为功率信号。

总结：①一般周期信号为功率信号。

② 时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。

③ 还有一些非周期信号，也是非能量信号。例如：ε(t)是功率信号；而tε(t)、et为非功率非能量信号;δ(t)是无定义的非功率非能量信号。

1.2.2.5 一维信号与多维信号

一维信号是指只由一个自变量描述的信号，如语音信号等。

多维信号是指由多个自变量描述的信号，如图像信号等。

还有其他分类，如：

① 实信号与复信号

② 左信号与右信号

③ 因果信号与反因果信号

1.2.3 典型确定信号

1.2.3.1 指数信号

指数信号表达式：$f(t)=Ke^{\alpha t}$，其函数图如下：

单边指数信号$f(t)=\begin{cases} 0&t<0 \ e& t{\geq}{-\frac{1}{\iota}} \end{cases}$，函数图像如下：

1.2.3.2 正弦信号

正弦信号表达式：$f(t)=Ksin({\omega}t+\theta)$，其函数图如下：

1.2.3.3 复指数信号

复指数信号表达式：$f(t) = Ke^{st} = Ke^{({\sigma+j{\omega}})t} = Ke^{\sigma t}·e^{j \omega t} = Ke^{\sigma t}cos({\omega t})+Ke^{\sigma t}sin({\omega})$

1.2.2.4 抽样信号

抽样信号表达式：$Sa(t)=\frac{sint}{t}$（重要极限，极限为1）

① $Sa(-t)=Sa(t)$，偶函数

② $t=0,Sa(t)=1,即\lim_{t{\rightarrow}0}Sa(t)=1$

③ $Sa(t)=0,t={\pm}n{\pi},n=1,2,3{\cdots}$

④ $\int_{0}^{\infty}{\frac{sint}{t}}{\rm d}t={\frac{\pi}{2}},\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{sint}{t}{\rm d}t}=\pi$

⑤ $\lim_{t\rightarrow{\pm {\infty}}}Sa(t)=0$

⑥ $sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}$

1.2.4 小芝士

pass

1.3 信号的基本运算

信号的基本运算包括：信号的加、乘、平移、反转和尺度变换。

1.3.1 信号的加法和乘法

信号$f_1(·)$和$f_2(·)$之和（瞬时和）是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”，即：$f(·) = f_1(·) + f_2(·)$。例如：调音台是将音乐与语言混合到一起。

信号$f_1(·)$和$f_2(·)$之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”，即：$ f(·) = f_1(·)f_2(·) $，例如：收音机的调幅信号是将音频信号$f_1(t)$加载到被称为载波的正弦信号$f_2(t)$上。

离散序列相加（或相乘）可采用对应样本点的值相加（或相乘）的方法计算。

注意这里的序列的加或乘运算，当界定限制为$-2{\leq}k{\leq}0$，因为是序列所以应该是确定值-2, -1

1.3.2 信号的反转

将$f(t) → f(–t)$， $f (k) →f(–k)$称为对信号$f(·)$的反转或反折。没有可实现信号反转的实际器件，但是数字信号处理中可以实现这一概念，如堆栈中的"先进后出"。

从图形上看是将$f(·)$以纵坐标为轴反转$180°$。如

1.3.3 信号的平移

将$f(t) →f(t–t_0)$，$f(k) →f(k–k_0)$称为对信号$f(·)$的平移或移位。若$t0(或k_0) >0$，则将$f(·)$右移，否则左移。左加右减。例如：雷达接收的目标回波信号比发射信号延迟了时间$t_0$，利用该延迟时间$t_0$可以计算出目标与雷达之间的距离。这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。

1.3.4 信号的尺度变换

将$ f (t) → f (a t)$ ，称为对信号$f (t)$的尺度变换。若$a >1$ ，则波形沿横坐标压缩；若$0< a < 1$ ，则扩展。

1.3.5 练习题

总结：混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注意一切变换都是相对t 而言。通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；对逆运算，反之。

1.3.6 小芝士

1.4 阶跃函数和冲击函数

阶跃函数和冲击函数不同于普通函数（对于离散时间信号来说：阶跃序列和单位样值序列），称为奇异函数。所谓奇异函数是指：函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数。

1.4.1 阶跃函数

1.4.1.1 阶跃函数的定义

采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。我们选定一个函数序列${\gamma}_n (t)$局部斜升函数如下图所示，这里$\frac{1}{2}$的出现可以参考书上$P3$上的解释，其实并不重要。

1.4.1.2 延迟单位阶跃函数

这里体现了阶跃函数的一个重要作用：表示其他函数。其实节约函数还具有做开关，限制积分上下限的重要作用。

1.4.1.3 阶跃函数的性质

① 方便的表示某些信号。例如：$f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2) $

利用移位阶跃函数也可以表示门信号，例如：${g_r}(t) = \delta {(t+{\frac{\tau}{2}})} - \delta {(t-{\frac{\tau}{2}})}$，${g_r}(t)$我们常称为门函数，其宽度为$\tau$，幅度为1。

② 用阶跃函数表示信号的作用区间

③ 积分 $ \int_{-\infty}^{t}{\varepsilon (\tau)}{\rm d}{\tau} = t \varepsilon(\tau) = {\varepsilon (t)} * {\varepsilon (t)} （卷积）$，$ \int_{-\infty}^{+\infty}{ t \varepsilon (\tau)}{\rm d}{t} = \int_{2}^{+\infty}{t \varepsilon (t-2)}{\rm d}t = \int_{2}^{+\infty}{t}{\rm d}t$

1.4.2 冲激函数

1.4.2.1 冲激函数的定义

单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。

① 狄拉克定义

狄拉克定义冲激函数为两个式子，如下
$$
\begin{cases}
\delta (t) = 0 & t{\neq}0 \
\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(t)}{\rm d}t = 1 & t = 0 \
\end{cases}
$$
式子中$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(t)}{\rm d}t = 1$的含义是该函数波形下的面积为1。

② 函数序列定义

冲击函数$\delta (t)$表示在$t=0$处的冲击，在$t=t_1$处出现的冲击可以表示为$\delta (t-t_1)$。如果$a$是常数，则$a \delta (t)$表示出现在$t=0$处，强度为$a$的冲击函数。如果$a$为负值，则表示强度为$|a|$的冲击。冲激函数$\delta (t - t_1)$和$a \delta (t)$如下图所示

1.4.2.2 冲击偶的定义

$\delta (t)$ 的一阶导数${\delta (t)}^{\prime}$称为脉冲偶，它也可以对一个普通函数区极限得到，如下图所示。如图所示为三角形脉冲$f_{\Delta} (t)$，其底宽为$2\tau$，高度为$\frac{1}{\tau}$，波形下面积等于1。当${\tau} {\rightarrow} 0$时，$f_{\Delta} (t)$成为单位冲击函数；三角形脉冲的一阶导数$f_{\Delta}^{\prime} (t)$，是正、负性的两个面积相等的矩形脉冲波。当${\tau} {\rightarrow} 0$，$f_{\Delta}^{\prime} (t)$成为两个正、负不同极性的两个脉冲，其强度为无穷大，由此可见，$\delta (t)$的一阶导数$ {\delta (t)} ^ {\prime} $的面积为零，即：$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = 0$。扩展：$\int_{-\infty}^{t}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = {\delta (t)}$。为了方便我们常常省去负冲击。

1.4.2.3 冲击函数的导数和积分

上述我们对冲击偶求积分得到$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = 0$，$\int_{-\infty}^{t}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = {\delta (t)}$，那么对冲激函数求导数和积分又怎么样呢？

有很多广义函数的知识，我们没有做要求，有能力自己看书吧。这里丢出结论：$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta (t)}{\rm d}t = 1$，我们可以根据冲激函数的定义出发得到该积分值为面积1。

1.4.2.4 冲击函数的性质

① 与普通函数的乘积

按广义函数的定义和冲击函数的取样性质，有：$\int_{- \infty}^{+ \infty}{[\delta (t) f(t)] \psi (t)}{\rm d}t = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\delta (t) [f(t) \psi (t)]}{\rm d}t = f(0) \psi (0)$。另一方面$\int_{- \infty}^{+ \infty}{[\delta (t) f(0)] \psi (t)}{\rm d}t = f(0) \psi (0)$。由上述两式得，$f(t) \delta (t) = f(0) \delta (t)$，$\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(t) \delta (t)}{\rm d}t = f(0)$。注意，这里不求积分时$\delta (t)$一定要带上。

如果将$f(t)$与$\delta (t)^{\prime}$相乘，得到如下的性质：$ {f(t)} {\delta {(t)} ^ {\prime}} = { f(t) |}_{t=0} {\delta {(t)} ^ {\prime}} - { {f(t)}^{\prime} |} _ {t=0} { \delta {(t)} }$，$ \int _ {-\infty}{+\infty} {f(t)} {\delta {(t)} ^ {\prime}} {\rm d}t = {-f(0)} ^ {\prime} $

② 移位

$\delta (t)$表示在$t = 0$处的冲击，在$t = t_1$处的冲击可以表示为$\delta (t-t_1)$，式中$t_1$为常数，则上述和普通函数的乘积性质做出如下如下变化：

$f(t) \delta (t-t_1) = f(t_1) \delta (t-t_1)$，$\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(t) \delta (t-t_1)}{\rm d}t = f(t_1)$和$ {f(t)} \delta {(t)} ^ {\prime} = {f(t)|} _ {t=t_1} \delta {(t-t_1)}^{ {\prime} } - {f(t)} ^{ {\prime}} | _ {t=t_1} \delta {(t-t_1)} $，$ \int_{-\infty}^{+\infty}{f(t) \delta (t-t_1)^{\prime}}{\rm d}t = -f(t)^{\prime} |_{t=t_1} $

③ 尺度变换

阿西吧，推导好难呀，先给自己留个坑，后面慢慢填。这里丢出结论：$\delta (at) = \frac{1}{|a|} \delta (t)$。类似的，对于$ \delta (at) $的一阶导数有：$\delta^{(1)} (at) = \frac{1}{|a|} · \frac{1}{a} \delta^{(1)} (t)$。这里之所以多出来一个$\frac{1}{a}$可以看作是复合函数求导得到的。类推，我们得到$\delta (at)$的$n$J阶导数$\delta^{(n)} (at) = \frac{1}{|a|} · \frac{1}{a^n} \delta^{(n)} (t)$

④ 奇偶性

对于式子$\delta^{(n)} (at) = \frac{1}{|a|} · \frac{1}{a^n} \delta^{(n)} (t)$，若取$a = -1$得到$\delta^{(n)} (-t) =(-1)^n \delta^{(n)} (t)$，这表明当$n$为偶数时，有$\delta^{(n)} (-t) = \delta^{(n)} (t)$，可以看作是$t$的偶函数。当$n$为奇数时，有$\delta^{(n)} (-t) =- \delta^{(n)} (t)$，可以看作是$t$的奇函数。