《信号与线性系统分析》学习记录

大二下学期，在本周算是正式开学了，昨天接触了我考研要考的专业课《信号与系统》，为了自己能够更好的学习这门专业课，所以萌生了使用博客写学习记录的想法，算是自我监督了，加油。

一、信号与系统

1.1 绪言

1.1.1 统筹概念

学校使用的书目为吴大正老师的《信号与线性系统分析》。绪言部分主要介绍相关的知识背景，通过这门课我们能学到什么，并且对整本书知识进行整理。

首先我们需要掌握信号的基本概念以及分类下面是一些小问题：

① 什么是消息?

答：人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。

② 什么是信息？

答：消息中有意义的内容称为信息。

③ 什么是信号?

答：信号是信息的载体，通过信号传递信息。（信号是信息的一种表达方式）（如上课铃响的声信号，十字路口的红绿灯是光信号，电视机天线接收的电视信息是电信号。日常生活中的文字信号、图像信号、生物电信号等，都是信号）

④ 什么是系统？

答：一般认为，系统是指若干相互关联、相互作用的事物按照一定规律组合而成的具有特定功能的整体。（发射和接收信号的设备、工具、人体消化系统等都可以视为系统）（系统具有传递、处理的作用）

总结：信息是消息中有意义的内容，信号是信息的载体，信号用于传递信号，系统具有传递和处理信号的作用

那么学习《信号与系统》我们主要是在研究什么？我们可以将输入的信号看作一个函数$ f(x) $，系统看作黑箱它完成对输入信号的处理这里表达为函数$ g(x) $，输出信号为$ y $。那么我们可以通过数学方法表达这样的一个过程：$ y=g(f(x)) $。我们完全可以知二求一。

关于本书整体框架的一个总结，熟读目录本书共有8章，我们大体可以对所要学的知识按照以下方式分类，个人更喜欢第二种按照时间域、频域的方式进行分类

1.1.2 小芝士

① 信息：是信息论的一个术语，通常把消息中有意义的内容称为信息。某事件发生的信息量可定义为$ I=-logP(x)$，其中$P ( x )$ 为事件$ x$的概率，当取2为底的对数时，信息量的单位为bit。

② 人耳可听的声音有一定的频率范围（20-20K Hz）和一定的声压级范围（0-120dB）。

③ 电脑主机的组成：CPU、显卡、主板、内存、硬盘、显示器、机箱、光驱、键盘、鼠标和散热系统。

④ 目前流行的主板厂商有哪些：msi微星、技嘉、七彩虹、铭瑄、昂达、影驰、华擎、华硕、梅捷等。

⑤ 信号理论包括：信号分析、信号传递、信号处理和信号综合。

⑥ 系统理论包括：系统分析和系统综合。

1.2 信号

1.2.1 信号的描述

按照第一节我们将信号描述为一个函数那么我们可以说：信号是携带信息的独立变量的函数。信号是信息的一种物理体现，一般是随时间或者位置变化的物理量。电信号的基本形式是随时间变化的电压或电流。

描述信号的方法一般有两种：①表示为时间的函数；②更为直观的描述为信号的图形表示--波形。“信号”与“函数（或者序列）”两个词互相通用。

1.2.2 信号的分类

信号按照物理属性分：电信号与非电信号。它们可以相互转换。例如：扩音器将声信号转化为电信号等。

信号按照实际用途分：电视信号、雷达信号（2023年3月6日我国著名雷达专家王小谟院士去世，该章知识点于3月8日更新，哀悼）、控制信号、通信信号、广播信号等。

信号按照所具有的时间特性划分：确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期信号与非周期信号、实信号与复信号、能量信号与功率信号、一维信号与多维信号、因果信号与反因果信号、左边信号与右边信号等。（书上主要按照该分类方法进行信号的分类及介绍）

1.2.2.1 确定信号与随机信号

确定信号是指可用确定的时间函数表示的信号，即可以写出一个确定的时间（或者其他自变量）的函数来表示该信号，如：$ sin(t)、cos(3{\pi}t+{\pi}) $等。

随机信号指信号不能用确切的函数描述，只可能知道它的统计特性比如概率，如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。

伪随机信号指貌似随机而严格遵循严格规律产生的信号（为随机码），主要用用途是加密，如：摩斯密码等。

1.2.2.2 连续信号与离散信号

根据信号定义域的特点可以分为连续信号和离散信号。

连续信号是指在连续时间范围内$(-\infty < t <+\infty) $有定义的信号，简称连续信号。这里的连续是指定义域连续，值域可以连续也可以不连续。注意：若其函数值域也连续，常称为模拟信号。因此$ 连续信号{\neq}模拟信号 $

离散信号是指仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号；当取值为规定数值时，常称为数字信号。定义域——时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。如下图的$f(t)$仅在一些离散时刻$t_k(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$才有定义，其余时间无定义。

当信号离散点的时间间隔相同，均为T时，离散信号可以表示为$f(kT)$,简写为$f(k)$,也常称为序列。其中k称为序号，通常将对应某序号k的序列值称为第k个样点的样值，用表达式可以表示为：$ f(x)=\begin{cases} 1 & k=-1 \\ 2 & k=0 \\ -1.5 & k=1 \\ 2 & k=2 \\ 0 & k=3 \\ 1 & k=4 \\ 0 & 其他k \end{cases} $，或者写为如下的形式，我更喜欢后者简洁

1.2.2.3 周期信号与非周期信号

周期信号定义在$(-\infty,+\infty)$区间，每隔一定时间T(或整数N)，按相同规律重复变化的信号(划重点整数N；)

连续周期信号满足$ f(t)=f(t+mT),m=0,\pm1,\pm2,\cdots $，离散周期信号满足$ f(k)=f(k+mN), m=0,\pm1,\pm2,\cdots$

连续信号的周期：① 典型周期连续信号$ f(t)=cos(wt) $，周期为：$T=\frac{2\pi}{w}$。

​ ② 两个周期信号的周期分别为$T_1$和$T_2$，若$ \frac{T_1}{T2} $为有理数，则周期信号之和仍然为周期信号，其周期为$T_1$和$T_2$的最小公倍数。

离散信号的周期：离散信号的周期是否存在，存在如何求证明如下：

总结：① 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。

​ ② 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

1.2.2.4 能量信号与功率信号

电学中能量的一般表达式为：$W=I^2RT$，扩展到一般情况表达为积分形式。

将信号$f(t)$施加于$10Ω$电阻上，它所消耗的瞬时功率位$|f(t)^2|$，在区间$(-\infty, +\infty)$的能量和平均功率定义为① 信号的能量$E=\int{-\infty}^{+\infty}{ {|f(x)|}^2 }{\rm d}t$。② 信号的功率$P=\lim{ {a} \rightarrow {\infty} }{ \frac{1}{2a} { \int_{-a}^{a} { {|f(t)|}^2 }{\rm d}t}}$。由公式可以看出，若信号$f(t)$的能量有界，即$E<\infty$，则称其为能量有限，简称能量信号。此时$P=0$。若信号$f(t)$的功率有界，即$P<\infty$，则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时$ W=\infty $。

因为离散信号是间断的，所以不能求积分，那就求和

对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。若满足$ E=\lim{ {N} \rightarrow {\infty} }{\sum{k=-N}^{N} { { |f(k)| }^2 } }$的离散信号，称为能量信号。若满足$ P= \lim{ {N} \rightarrow {\infty} } { \frac {1}{2N+1} }{ \sum{k=-N}^{N} }{ {|f(k)|}^2 }$的离散信号,称为功率信号。

总结：①一般周期信号为功率信号。

​ ② 时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。

​ ③ 还有一些非周期信号，也是非能量信号。例如：ε(t)是功率信号；而tε(t)、et为非功率非能量信号;δ(t)是无定义的非功率非能量信号。

1.2.2.5 一维信号与多维信号

一维信号是指只由一个自变量描述的信号，如语音信号等。

多维信号是指由多个自变量描述的信号，如图像信号等。

还有其他分类，如：

① 实信号与复信号

② 左信号与右信号

③ 因果信号与反因果信号

1.2.3 典型确定信号

1.2.3.1 指数信号

指数信号表达式：$f(t)=Ke^{\alpha t}$，其函数图如下：

单边指数信号$f(t)=\begin{cases} 0&t<0 \\ e& t{\geq}{-\frac{1}{\iota}} \end{cases}$，函数图像如下：

1.2.3.2 正弦信号

正弦信号表达式：$f(t)=Ksin({\omega}t+\theta)$，其函数图如下：

1.2.3.3 复指数信号

复指数信号表达式：$f(t) = Ke^{st} = Ke^{({\sigma+j{\omega}})t}$
$= Ke^{\sigma t}·e^{j \omega t} = Ke^{\sigma t}cos({\omega t})+Ke^{\sigma t}sin({\omega})$

1.2.2.4 抽样信号

抽样信号表达式：$Sa(t)=\frac{sint}{t}$（重要极限，极限为1）

① $Sa(-t)=Sa(t)$，偶函数

② $t=0,Sa(t)=1,即\lim_{t{\rightarrow}0}Sa(t)=1$

③ $Sa(t)=0,t={\pm}n{\pi},n=1,2,3{\cdots}$

④ $\int{0}^{\infty}{\frac{sint}{t}}{\rm d}t={\frac{\pi}{2}},\int{-\infty}^{+\infty}{\frac{sint}{t}{\rm d}t}=\pi$

⑤ $\lim_{t\rightarrow{\pm {\infty}}}Sa(t)=0$

⑥ $sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}$

1.2.4 小芝士

pass

1.3 信号的基本运算

信号的基本运算包括：信号的加、乘、平移、反转和尺度变换。

1.3.1 信号的加法和乘法

信号$f_1(·)$和$f_2(·)$之和（瞬时和）是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”，即：$f(·) = f_1(·) + f_2(·)$。例如：调音台是将音乐与语言混合到一起。

信号$f_1(·)$和$f_2(·)$之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”，即：$ f(·) = f_1(·)f_2(·) $，例如：收音机的调幅信号是将音频信号$f_1(t)$加载到被称为载波的正弦信号$f_2(t)$上。

离散序列相加（或相乘）可采用对应样本点的值相加（或相乘）的方法计算。

注意这里的序列的加或乘运算，当界定限制为$-2{\leq}k{\leq}0$，因为是序列所以应该是确定值-2, -1

1.3.2 信号的反转

将$f(t) → f(–t)$， $f (k) →f(–k)$称为对信号$f(·)$的反转或反折。没有可实现信号反转的实际器件，但是数字信号处理中可以实现这一概念，如堆栈中的”先进后出”。

从图形上看是将$f(·)$以纵坐标为轴反转$180°$。如

1.3.3 信号的平移

将$f(t) →f(t–t_0)$，$f(k) →f(k–k_0)$称为对信号$f(·)$的平移或移位。若$t0(或k_0) >0$，则将$f(·)$右移，否则左移。左加右减。例如：雷达接收的目标回波信号比发射信号延迟了时间$t_0$，利用该延迟时间$t_0$可以计算出目标与雷达之间的距离。这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。

1.3.4 信号的尺度变换

将$ f (t) → f (a t)$ ， 称为对信号$f (t)$的尺度变换。若$a >1$ ，则波形沿横坐标压缩；若$0< a < 1$ ，则扩展 。

1.3.5 练习题

总结：混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注意一切变换都是相对t 而言。通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；对逆运算，反之。

1.3.6 小芝士

1.4 阶跃函数和冲击函数

阶跃函数和冲击函数不同于普通函数（对于离散时间信号来说：阶跃序列和单位样值序列），称为奇异函数。所谓奇异函数是指：函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数。

1.4.1 阶跃函数

1.4.1.1 阶跃函数的定义

采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。我们选定一个函数序列${\gamma}_n (t)$局部斜升函数如下图所示，这里$\frac{1}{2}$的出现可以参考书上$P3$上的解释，其实并不重要。

1.4.1.2 延迟单位阶跃函数

这里体现了阶跃函数的一个重要作用：表示其他函数。其实节约函数还具有做开关，限制积分上下限的重要作用。

1.4.1.3 阶跃函数的性质

① 方便的表示某些信号。例如：$f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2) $

利用移位阶跃函数也可以表示门信号，例如：${g_r}(t) = \delta {(t+{\frac{\tau}{2}})} - \delta {(t-{\frac{\tau}{2}})}$，${g_r}(t)$我们常称为门函数，其宽度为$\tau$，幅度为1。

② 用阶跃函数表示信号的作用区间

③ 积分 $ \int{-\infty}^{t}{\varepsilon (\tau)}{\rm d}{\tau} = t \varepsilon(\tau) = {\varepsilon (t)} * {\varepsilon (t)} （卷积）$，$ \int{-\infty}^{+\infty}{ t \varepsilon (\tau)}{\rm d}{t} = \int{2}^{+\infty}{t \varepsilon (t-2)}{\rm d}t = \int{2}^{+\infty}{t}{\rm d}t$

1.4.2 冲激函数

1.4.2.1 冲激函数的定义

单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。

① 狄拉克定义

狄拉克定义冲激函数为两个式子，如下

$$\begin{cases} \delta (t) = 0 & t{\neq}0 \\\ \int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(t)}{\rm d}t = 1 & t = 0 \\\ \end{cases}$$

式子中$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(t)}{\rm d}t = 1$的含义是该函数波形下的面积为1。

② 函数序列定义

冲击函数$\delta (t)$表示在$t=0$处的冲击，在$t=t_1$处出现的冲击可以表示为$\delta (t-t_1)$。如果$a$是常数，则$a \delta (t)$表示出现在$t=0$处，强度为$a$的冲击函数。如果$a$为负值，则表示强度为$|a|$的冲击。冲激函数$\delta (t - t_1)$和$a \delta (t)$如下图所示

1.4.2.2 冲击偶的定义

$\delta (t)$ 的一阶导数${\delta (t)}^{\prime}$称为脉冲偶，它也可以对一个普通函数区极限得到，如下图所示。如图所示为三角形脉冲$f{\Delta} (t)$，其底宽为$2\tau$，高度为$\frac{1}{\tau}$，波形下面积等于1。当${\tau} {\rightarrow} 0$时，$f{\Delta} (t)$成为单位冲击函数；三角形脉冲的一阶导数$f{\Delta}^{\prime} (t)$，是正、负性的两个面积相等的矩形脉冲波。当${\tau} {\rightarrow} 0$，$f{\Delta}^{\prime} (t)$成为两个正、负不同极性的两个脉冲，其强度为无穷大，由此可见，$\delta (t)$的一阶导数$ {\delta (t)} ^ {\prime} $的面积为零，即：$\int{-\infty}^{+\infty}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = 0$。扩展：$\int{-\infty}^{t}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = {\delta (t)}$。为了方便我们常常省去负冲击。

1.4.2.3 冲击函数的导数和积分

上述我们对冲击偶求积分得到$\int{-\infty}^{+\infty}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = 0$，$\int{-\infty}^{t}{\delta (t)}^{\prime}{\rm d}t = {\delta (t)}$，那么对冲激函数求导数和积分又怎么样呢？

有很多广义函数的知识，我们没有做要求，有能力自己看书吧。这里丢出结论：$\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta (t)}{\rm d}t = 1$，我们可以根据冲激函数的定义出发得到该积分值为面积1。

1.4.2.4 冲击函数的性质

① 与普通函数的乘积

按广义函数的定义和冲击函数的取样性质，有：$\int{- \infty}^{+ \infty}{[\delta (t) f(t)] \psi (t)}{\rm d}t = f(0) \psi (0)$。另一方面$\int{- \infty}^{+ \infty}{[\delta (t) f(0)] \psi (t)}{\rm d}t = f(0) \psi (0)$。由上述两式得，$f(t) \delta (t) = f(0) \delta (t)$，$\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(t) \delta (t)}{\rm d}t = f(0)$。
注意，这里不求积分时$\delta (t)$一定要带上。

如果将$f(t)$与$\delta (t)^{\prime}$相乘，得到如下的性质：$ {f(t)} {\delta {(t)} ^ {\prime}} = { f(t) |}{t=0} {\delta {(t)} ^ {\prime}} - { {f(t)}^{\prime} |} {t=0} { \delta {(t)} }$，$ \int _ {-\infty}^{+\infty} {f(t)} {\delta {(t)} ^ {\prime}} {\rm d}t = {-f(0)} ^ {\prime} $

② 移位

$\delta (t)$表示在$t = 0$处的冲击，在$t = t_1$处的冲击可以表示为$\delta (t-t_1)$，式中$t_1$为常数，则上述和普通函数的乘积性质做出如下如下变化：

$f(t) \delta (t-t1) = f(t_1) \delta (t-t_1)$，$\int{- \infty}^{+ \infty}{f(t) \delta (t-t1)}{\rm d}t = f(t_1)$和$ {f(t)} \delta {(t)} ^ {\prime} = {f(0)} \delta {(t)}^{ {\prime} } - {f(0)} ^{ {\prime}} \delta {(t)} $，$ \int{-\infty}^{+\infty}{f(t) \delta (t-t1)^{\prime}}{\rm d}t = -f(t)^{\prime} |{t=t_1} $

③ 尺度变换

阿西吧，推导好难呀，先给自己留个坑，后面慢慢填。这里丢出结论：$\delta (at) = \frac{1}{|a|} \delta (t)$。类似的，对于$ \delta (at) $的一阶导数有：$\delta^{(1)} (at) = \frac{1}{|a|} · \frac{1}{a} \delta^{(1)} (t)$。这里之所以多出来一个$\frac{1}{a}$可以看作是复合函数求导得到的。类推，我们得到$\delta (at)$的$n$J阶导数$\delta^{(n)} (at) = \frac{1}{|a|} · \frac{1}{a^n} \delta^{(n)} (t)$

④ 奇偶性

对于式子$\delta^{(n)} (at) = \frac{1}{|a|} · \frac{1}{a^n} \delta^{(n)} (t)$，若取$a = -1$得到$\delta^{(n)} (-t) =(-1)^n \delta^{(n)} (t)$，这表明当$n$为偶数时，有$\delta^{(n)} (-t) = \delta^{(n)} (t)$，可以看作是$t$的偶函数。当$n$为奇数时，有$\delta^{(n)} (-t) =- \delta^{(n)} (t)$，可以看作是$t$的奇函数。

1.4.2.5 总结

1.4.2.6 小芝士

1.5 系统的描述

要分析一个系统，首先要建立描述该系统基本特性的数学模型，然后用数学方法(或计算机仿真等)求出它的解答，并对所得结果赋予实际含义。按照数学模型的不同，系统可分为：即时系统与动态系统、连续系统与离散系统、线性系统与非线性系统、时不变系统与时变系统等等。本文主要讨论动态系统。

1.5.1 系统的数学模型

简单理解：连续系统的数学模型是微分方程，离散系统的数学模型是差分方程。

1.5.2 系统的框图表示

连续或离散系统除用数学方程方程描述外，还可用框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系。一个方框（或者其他形状）可以表示一个具有某种功能的部件，也可以表示一个子系统。

表示系统功能的常用基本单元有：积分器（用于连续系统）或延迟单元（用于离散系统）以及加法器和数乘器（标量乘法器），对于连续系统，有时还需用延迟单元为T的延时器。这里注意我们说系统的数学模型都是微分/差分方程，那么为什么用积分器呢？实际上我们一般将积分器的输入输出反着使用。

1.5.3 习题

对于系统的框图表示法，我们一般知框图求方程，加法器是突破口。对于只有一个加法器的系统，根据加法器输入等于输出的特性列写方程即可；对于有两个加法器的系统，根据加法器列写出方程后需要消去中间变量，具体方法见例题。

已知系统的框图，列写其微分方程或差分方程的一般步骤是：

① 选中间变量$X(·)$。对于连续系统，设其最右端积分器的输出为$X(t)$；对于离散系统设其最左端延迟单元的输入为$X(k)$。

② 写出各加法器输出信号的方程。

③ 消去中间变量$X(t)$。

如果已知系统的微分方程或差分方程，也可以画出其相应的框图，后面会讲。

1.6 系统的特性和分析方法

连续的或离散的动态系统，按其基本特性可分为线性与非线性的；时变的与时不变的；因果的与非因果的；稳定的与不稳定的等等。我们主要学习线性时不变（LTI）系统。

1.6.1 线性

系统的激励$f(·)$与响应$y(·)$之间的关系可简记为：$y(·) = T[f(·)]$，这和第一章我们对系统的描述是相符的，式中$T$是算子，它的意思是$f(·)$经过算子$T$所规定的运算，得到$y(·)$。可以理解为，激励$f(·)$作用于系统所引起的响应为$y(·)$。

线性性质包含两个内容：齐次性和叠加性。齐次性可以描述为：设$\alpha$为任意常数，若系统的激励$f(·)$增大$\alpha$倍时，其响应$y(·)$也增大$\alpha$倍，即：${T} [\alpha {f(·)}] = \alpha [{Tf(·)}]$。叠加性可以描述为：若系统对于激励$f 1 (·)$与$f 2 (·)$之和的响应等于各激励所引起的响应之和，即$T[ f 1 (·) + f 2 (·) ] = T[ f 1 (·) ] + T[ f 2 (·) ]$。如果系统既是齐次的又是可加的，则称该系统为线性的。综合以上两中国的性质，对于线性系统有：

$$T[a _ 1 f _ 1 (·) + a _ 2 f _ 2 (·)] = T[a _ 1 f _ 1 (·)] + T[ a _ 2 f _ 2 (·) ]$$

动态系统的响应不仅决定于系统的激励{ $ f(·) $ }，而且与系统的初始状态有关。为了方便，不妨设初始时刻为$ t = t 0 = 0 $或$k = k 0 = 0$。系统在初始时刻的状态用$x(0)$表示，如果系统有多个初始状态$x 1 (0),x 2 (0), \cdots ,x n (0)$，就简记为：{ $ x(0) $ }。这样，动态系统在任意时刻$t \geq 0 $或$ k \geq 0 $的响应$y(·)$可以由初始状态{ $ x(0) $ }和$[0,t]$或$[0,k]$上的激励{ $ f(·) $ }完全决定。初始状态可以看作是系统的另一种激励，这样，系统的响应将取决于两种不同的激励，输入信号{ $ f(·) $ }和初始状态{ $f(·)$ }。则系统的全响应可以写为：$y(·) = T[f(·), x(0)]$。根据线性性质，线性系统的响应是激励和响应单独作用所引起的响应之和。令输入信号（激励）全为零时，仅由初始状态{ $ x(0) $ }引起的响应为零输入响应，用$ y {zi} (·)$表示，即：$y {zi} (·) = T[ {x(0),0} ]$，令初始状态全为零时，仅由输入信号{ $ f(·) $ }引起的响应为零状态响应，用$y {zs} (·)$表示，即：$y {zs} (·) = T[ {f(·),0} ]$。系统的全响应：$y(·) = y {zi} + {y} _ {zs}$。线性系统的这一性质可称为：可分解特性。

综上所述，一个既具有分解性、又具有零状态线性和零输入线性的系统称为线性系统。这也为我们判断一个系统是否为线性系统提供了方法。

1.6.2 时不变性

如果系统的参数都是常数，它们不随时间变化，则称该系统为时不变系统。线性系统可以是是不变的，也可以是时变的。

1.6.3 因果性

人们把激励与零状态响应的关系看成因果关系，即把激励看作是产生响应的原因，而零状态响应是激励引起的结果。因果系统是指零状态响应不会出现在激励之前的系统，即对因果系统： 当$t < {t} 0$，$f(t) = 0$时，有$t < t 0$，$y _ {zs} (t) =0$。

1.6.4 稳定性

1.7 第一章习题

习题是吴老师出版的书上的习题，我并没有完全做完，只做了我认为比较重要的部分，如有疏漏请指正

1.7.1 周期函数运算与信号的运算

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1.7.2 冲激函数的性质计算

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1.7.3 框图模型写数学模型

1.7.3 系统的分析

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1.7.4 LTI系统的运算

二、连续系统的时域分析

2.1 LTI连续系统的响应

本节的主要内容有微分方程的经典解、关于$0 +$和$0 -$初始值、零输入相应、零状态响应、全响应。其中零输入响应和零状态响应是本节重点。

2.1.1 微分方程的经典解

一般而言，如果单输入-单输出系统的激励为$f(t)$，响应为$y(t)$，泽米哦啊书LTI连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程。可以写为：

该微分方程的全解由齐次解和特解组成。即：$y {(t)} = y {h} {(t)} + y {p} {(t)}$

如何求解齐次解(固有响应或自由响应)和特解（强迫响应）？

答：利用微分方程的特征的方程求解特征根，根据特征根写出齐次解的形式（待定其中的系数，齐次解的系数需要将初始条件带入全解中获得），然后利用激励f(t)的形式，假设特解的形式，根据原微分方程的形式对特解进行多次求导并将f(t)和求导结果带入微分方程，求解特解。这样我们就可以将全解写出来，然后根据初始条件待定全解中的系数，至此全解的求解全部完成。（思路清晰）

如下图分别是不同特征根所对应的齐次解，不同激励所对应的特解的图表

2.1.1.1 例题

2.1.2 关于0-和0+初始值

证明过程可以不看但是总结一定要看

若输入 $f (t)$ 是在$t = 0$时接入系统，则确定待定系数$C i$ 时用$t = 0 +$时刻的初始值，即$y^ {(j)} (0+) ( j = 0 , 1 , 2… ，n-1 )$。而$y ^ {(j)} (0+)$包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在$t = 0 _ -$ 时，激励尚未接入，该时刻的值$y^ {(j)} (0-)$反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。通常，需要从已知的初始状态$y ^ {(j)} (0-)$设法求得$y{(0+)}$。

2.1.2.1 相关证明

这里主要引入了冲击平衡法，冲击平衡法简单理解就是：当激励端有$\delta$的n阶导数，那么响应端的最高阶导数就应该包含$\delta$的最高阶导数，这样可以我们对y的最高阶导数进行积分并带入原微分方程就可以将y的各阶导数求出来，这样全解就简单了。

2.1.2.2 总结

2.1.3 零输入响应

对于全响应的求解，我们目前已知经典解（齐次解+特解），我们还可以用分解求法（零输入响应+零状态响应）。即：$y(t) = y {zi} (t) + y {zs} (t) $，其中零输入响应为齐次微分方程，零状态响应为非齐次微分方程。

对于分解求法，我们可以整理出如下的做题流程：

2.1.3.1 例题

求解零输入响应的步骤和求齐次解的步骤基本相同：根据初始条件，我们可以知道零输入响应应该满足3个方程，利用其中的齐次常微分方程的特征根写出零输入响应解的形式，根据初始条件判断是否需要求导，再将$y {0+} 或 y ^ {\prime} {0+}$代入方程，将系数求解出来即可。

2.1.4 零状态响应

对于全响应的求解，我们目前已知经典解（齐次解+特解），我们还可以用分解求法（零输入响应+零状态响应）。即：$y(t) = y {zi} (t) + y {zs} (t) $，其中零输入响应为齐次微分方程，零状态响应为非齐次微分方程。

对于零状态响应，在$t = 0 -$时刻激励尚未接入，故应有$y {zs} (0 -) = 0$，在求解$y {zs} (0 _ +)$的过程中注意方程右端有无冲击函数，若有，需要利用冲激平衡法来求解。

不管是零输入响应还是零状态响应，我们都是通过$y {0 +}$来待定系数的，如此我们零状态响应也需要先找到零状态响应满足的条件方程，然后通过对非齐次微分方程求经典解写出零状态响应解的基本形式，再然后通过冲击平衡法找出$y {zs} {(0 +)}$，带入解求解系数即可。

2.1.5 例题

原谅博主没钱吧，实在没有演草纸了/(ㄒoㄒ)/~~，在平板写字真的丑。

2.1.5 全响应

分解求法（零输入响应+零状态响应），有了前面的基础这个太简单了吧😀，其实零输入响应和零状态响应的求解过程也都相仿，只是零状态响应多了一步求解$y {zs} (0 +)$，而这一步使用冲击平衡法求解很方便。

2.1.5.1 例题

2.1.6 线性叠加法

这里必须提一下使用线性叠加法求解零状态响应，它简化以往求解的一些计算量，而且对于一些题目有很好的避错作用。

2.1.6.7 分歧

线性叠加法

分解法

上面也看到了，我们使用线性叠加法和分解求法得到的结果不同。这是为什么呢?哪个又是正确答案呢？

答案是线性叠加法是正确的，使用分解法还需要加一个$a {\delta (t)}$。

之所以得到的结果不同，我问了ChatGPT得到如下的答案

在求解系统零状态响应时，分解求法和线性叠加法是两种常用的方法。这两种方法求解出来的结果有时候会不同，原因如下：

1. 分解求法和线性叠加法的假设不同。分解求法假设系统的响应是由系统的本征模态组合而成的，而线性叠加法假设系统的响应是由输入信号的不同部分组合而成的。

2. 分解求法和线性叠加法的前提条件不同。分解求法要求系统的本征模态是线性且不相关的，而线性叠加法要求输入信号是线性的。

3. 分解求法和线性叠加法的适用范围不同。分解求法适用于线性时不变系统，而线性叠加法适用于线性系统。

4. 分解求法和线性叠加法的计算方式不同。分解求法需要对系统进行正交分解和归一化处理，而线性叠加法只需要对输入信号进行分解，然后将不同部分叠加即可。

综上所述，分解求法和线性叠加法在求解系统零状态响应时有不同的假设、前提条件、适用范围和计算方式，因此求解结果可能会不同。

那么我们该如何区分题目是使用线性叠加法还是分解法呢？其实很简单，看一下下面的过程，这是我们使用分解法的过程，这其中我们可以判断使用哪一种方法。

2.1.6.8 例题

2.2 冲激响应和阶跃响应

掌握冲激响应、阶跃响应的求解方法

2.2.1 冲击响应

冲击响应是指由单位冲击函数$\delta (t)$所引起的零状态响应称为单位冲击响应，简称冲击响应，记为$h(t)$。$h(t) = T[{0}, {\delta (t)}]$

这里有个很有意思的结论：冲击响应的数学模型是非齐次微分方程但冲击响应的解形式是齐次解。

2.2.2 阶跃响应

阶跃响应是指由单位阶跃函数$\varepsilon (t)$所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)

2.3 卷积积分

卷积方法在信号与系统理论中占有重要地位。书中要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多的冲激函数之和(离散)或积分(连续)，利用冲击响应，求解LTI系统对任意激励的零状态输入。

2.3.1 信号的时域分解

任一信号都可以分解为基本信号(正弦信号、虚指数信号)，也可以说任一信号是由一系列冲激函数的加权和。

1. 变量代换
2. 反转
3. 乘积
4. 平移

2.3.2 卷积积分的定义

$f(t) = f(t)* {\delta}(t) = \int _ {-\infty}^{+\infty} f(\tau) {\delta}(t-\tau)dt$

$y {zs}(t) = f(t)*h(t) = \int{-\infty}^{+\infty} {f(\tau)h(t-\tau)}d{\tau}$

已知定义在区间$(-\infty,+\infty)$上的两个函数$f1 (t)$和$f_2 (t)$，则定义积分：$f(t) = \int{-\infty}^{+\infty} {f_1 (\tau) f_2 (t-\tau)}d{\tau}$。为$f_1 (t)$与$f_2 (t)$的卷积积分，简称卷积；记为$f(t) = f_1(t) * f_2 (t)$

注意：积分是在虚设的变量$\tau$下进行的，$\tau$为积分变量，$t$为参变量，结果仍为$t$的函数

卷积积分的定义式：$f(t) = f1 (t) * f_2 (t) = \int{-\infty}^{+\infty} {f_1 (\tau)}{f_2 (t-\tau)}d{\tau}$

卷积积分的应用：① 表示信号；②求信号的零状态响应

$y{zs} (t) = \int{-\infty}^{+\infty} {f(\tau)h(h-\tau)}{d \tau} = f(t)*h(t)$

2.3.3 图解法

根据以上理论上的解释，我们可以理解卷积的过程可分解为四步：

1. 换元：$t$ 换为$ τ $, 得 $f_1 (τ)和f_2 (τ)$

2. 反转平移：由 $f_2 (τ)$ 反转得到$ f_2 (–τ)$然后右移$ t → f_2 (t-τ)$

3. 乘积： $f1 (τ) f2 (t-τ) $

4. 积分：$ τ $从$ –∞$到$ ∞$对乘积项积分($t$ 为参变量)

下面是付老师的PPT展示的图解法，好好理解一下

从以上可以看到这里的卷积积分是两个信号重叠的面积

2.3.4 卷积积分的应用

卷积积分的应用：① 表示信号；②求信号的零状态响应

$y{zs} (t) = \int{-\infty}^{+\infty} {f(\tau)h(h-\tau)}{d \tau} = f(t)*h(t)$

2.4 卷积积分的性质

2.4.1 卷积代数运算

2.4.1.1 交换律

卷积代数运算满足交换律，卷积结果与交换两函数的次序无关（这也就是说图解法钟一般选比较简单的函数进行反转和平移）。

$f_1 (t) f_2 (t) = f_2 (t) f_1 (t)$

2.4.1.2 分配律

卷积的代数运算满足分配律。$f_1 (t)[f_2 (t) + f_3 (t)] = f_1 (t) f_2 (t) + f_1 (t) * f_3 (t)$

关于框图中的并联满足以下性质

2.4.1.3 结合律

卷积的代数运算满足结合律。$[f(t) f_1 (t)] f_2 (t) = f(t) [f_1 (t) f_2 (t)]$

关于框图中的积联满足以下性质

2.4.2 与阶跃函数或冲激函数的卷积

2.4.2.1 与冲激函数的卷积

函数与冲激函数的卷积体现的使卷积的复现性。$f(t) \delta (t) = \delta(t) f(t) = f(t)$，一个函数与冲激函数相卷积结果等于函数本身。

2.4.2.2 与冲激偶的卷积

函数与冲激偶的卷积是对该函数进行求导操作。$f(t) * \delta ^ {\prime} (t) = f^{\prime} (t)$。

2.4.2.3 与阶跃函数的卷积

函数与阶跃函数的卷积是对改函数求$(-\infty, t)$积分。

2.4.3 卷积的微积分性质

2.4.3.1 性质

2.4.3.2 习题

看看习题

2.4.4 相关函数

为比较某函数与另一延时$\tau$的信号之间的相似程度，需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。

相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转

2.4.4.1 考研

考研人士请仔细阅读

2.5 第二章习题

四、傅里叶变换和系统的频域分析

在第二章和第三章我们学习了连续时间系统和离散时间系统的时域分析。我们说任意信号均可以分解为一系列基本信号(冲激函数)(单位序列)的加权和，而系统的响应(零状态响应)是输入信号与系统冲激响应的卷积/卷积和。

第四章则讨论连续时间的傅里叶变换和连续时间系统的频域分析。它是以正弦函数或虚指数函数$e^{jwt}$为基本信号，将任意连续时间信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和(对于周期函数)或积分(对于非周期信号)

由于正弦函数或虚指数函数都是定义在区间$(-\infty,\infty)$的函数，根据欧拉公式，正弦函数或余弦函数均可表示为两个虚指数函数之和。具有一定幅度和相位，角频率为$w$的虚指数函数$F e^{jwt}$作用于LTI系统时，所引起的响应是同频率的虚指数函数$Y _ {e ^{jwt}} = H(jw)Fe ^{jwt}$。系统的表现为系统的频率响应函数$H(jw)$，它是信号角频率$w$的函数，而与时间无关。这里用于系统分析的独立变量是角频率，因此称之为频域分析

欧拉公式

$$e^{iα}=cosα+isinα； e^{-iα}=cosα-isinα； cosα=\frac{e^{iα}+e^{-iα}}{2}； sinα=\frac{-i[e^{iα}-e^{-iα}]}{2}。$$

4.1 信号分解为正交信号

须知：频域分析中周期信号使用傅里叶级数，非周期信号使用傅里叶变换，其中非周期信号可以看作是周期信号的一种特例，其周期为$\infty$。

4.1.1 矢量正交

信号的正交是沿用矢量正交的性质衍生出来的，因此我们要学习信号的正交需要先了解矢量正交以及矢量的正交分解

4.1.2 信号正交与正交函数集

空间矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干相互正交的信号作为基本信号，是的信号空间中任一信号均可表示为它们的线性组合

我们称定义在$(t1, t_2)$的两个信号$f_1 (t)$和$f_2 (t)$满足$\int{t_1}^{t_2} {f_1 (t) f_2 (t)}dt = 0$（两信号的内积为0）的两个信号在该区间上正交。

若$n$个函数$f_1 (t)$，$f_2 (t)$，$\cdots$，$f_n (t)$构成一个函数集，这些函数在区间$(t_1, t_2)$内满足任意两两内积均为零且自生内积不等于零，则称该函数集为在区间$(t_1, t_2)$的正交函数集。且如果在该正交函数集之外，不存在函数$\psi(t)$满足与函数集中的函数内积为零的条件，则可称该函数集为完备正交函数集

沃尔什函数集在区间$(0,1)$内也是完备正交函数集，勒让德多多项式、切比雪夫多项式等也可以构成正交函数集。

4.1.3 信号分解为正交函数

信号分解为正交函数

4.2 傅里叶级数

周期信号是定义在 $(-∞，∞)$区间，每隔一定时间 T (或整数 N ），按相同规律重复变化的信号。它可以表示为：$f (t) = f ( t + mT )，m = 0, ±1, ±2, …$满足上述关系的最小T 称为该信号的周期。

由4.1节内容可知，函数 $f (t)$ 可分解为无穷多项正交函数之和。若该完备的正交函数集是三角函数集或者指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数分别称为三角型傅里叶级数或指数型傅里叶级数, 统称为傅里叶级数。需要指出，只有当周期信号满足Dirichlet条件时，才能展开为傅里叶级数。

Dirichlet条件

1. 在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
2. 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
3. 在一周期内，信号绝对可积。

4.2.1 周期信号的分解

由4.1节我们已知三角函数集${1, cos(n \Omega t), sin(n \Omega t)},n=1,2,\cdots$在一个周期内是一个完备正交函数集

该函数集是完备函数集的证明

4.2.1.1 三角形式傅里叶级数

设周期信号$f(t)$，其周期为$T$，角频率$w = \frac{2 \pi}{T}$，当满足狄利赫利 ( Dirichlet ) 条件时，它可分解为如下三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数。

$$f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos(n \Omega t)} + \sum_{n=1}^{\infty}{b_n sin(n \Omega t)}$$

系数$a_n,b_n$称为傅里叶系数，n的取值为$0,1,2,\cdots$

$$a_n = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) \cos(n \Omega t)}dt,n=1,2,3,\cdots$$ $$b_n = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) \sin(n \Omega t)}dt,n=1,2,3,\cdots$$

这里将$n$看作自变量的话，由于$\sin(x)和\cos(x)$函数的特性，我们可以知道$an是n的偶函数，b_n是n的奇函数$即$a{-n}=an$，$b{-n}=-b_n$

我们将三角形式的傅里叶级数同频率项合并可以写为

$$f(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}{A_n \cos(n \Omega t + \varphi _ n)}$$

式中$A_0 = a_0$，$A_n = \sqrt { {a_n}^2 + {b_n}^2}$，$\varphi _n = -arctan{\frac{b_n}{a_n}}$

结合$a_n,b_n$的奇偶性，可以得到$A_n是n的偶函数，\varphi_n是n的奇函数$，$a_n = A_ncos(\varphi_n)$，$b_n=-A_nsin(\varphi_n)$，$n=1,2,\cdots$

经三角变换后的傅里叶级数表明周期信号可分解为直流分量和许多余弦分量

1. $\frac{A_0}{2}$为直流分量。
2. $A_1cos(\Omega t+\varphi_1)$称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同。
3. $A_2cos(2\Omega t+\varphi_2)$称为二次谐波，其频率是基波的2倍。
4. 一般而言，$A_ncos(n\Omega t+\varphi_n)$称为n次谐波。

由此可知：周期信号可分解为许多个各次谐波分量

图解该函数的分解

4.2.1.2 指数形式傅里叶级数

三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

对于虚指数函数集${ {e^{jn \Omega t},n=0, \pm1, \pm3,\cdots} }$，$f(t) = \sum{n=-\infty}^{\infty}{F_n e^{jn \Omega t} }$，系数$F_n$称为傅里叶系数$F_n = \frac{1}{T} \int{- \frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} }{f(t) e^{-jn \Omega t} }dt$需要注意$n$的取值范围。

指数形式傅里叶级数的推导主要应用欧拉公式改写三角形式的式子，可以尝试自己推导。这里贴出付老师的推导过程

指数形式傅里叶级数推导

4.2.2 奇、偶函数的傅里叶级数

奇、偶函数的傅里叶级数主要考虑波形的对称性与谐波特性

$$a_n = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) \cos(n \Omega t)}dt,n=1,2,3,\cdots$$ $$b_n = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) \sin(n \Omega t)}dt,n=1,2,3,\cdots$$

1. 若$f(t)$为偶函数，则$b_n$中$f(t) \sin(n \Omega t)$为奇函数，在对称区间$(-\frac{T}{2}, \frac{T}{2})$的积分为0，即$b_n = 0$，$f()$的展开式为余弦级数（包含直流分量和余弦分量）
2. 若$f(t)$为奇函数，则$a_n$中$f(t) \cos(n \Omega t)$为奇函数，在对称区间$(-\frac{T}{2}, \frac{T}{2})$的积分为0，即$a_n = 0$，$f()$的展开式为正弦级数（不包含直流分量只包含正弦分量）

4.2.3 奇谐、偶谐函数的傅里叶级数

什么是奇谐函数？什么是偶谐函数？

奇谐函数特征：函数$f(t)$的前半周期波形移动$T/2$后，与后半周期波形相对于横轴对称。

偶谐函数特征：函数$f(t)$的前半周期波形移动$T/2$后，与后半周期波形重合。

1. 对于奇谐函数其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即$a_0 = a_2 = … = b_2 = b_4 = … = 0$
2. 对于偶谐函数此时其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即$a_1 = a_3 = … = b_1 = b_3 = … = 0$

习题

半波整流函数我不会(;´༎ຶД༎ຶ`)

4.2.4 习题

4.3 周期信号的频谱

时域中的周期信号对应频域中的离散信号

4.3.1周期信号的频谱

频域分析中，我们将周期信号使用傅里叶级数展开，将非周期信号使用傅里叶变换进行分析。在4.2节中，周期信号f(t)可展开为傅里叶级数，即分解为一系列正弦信号或虚指数信号之和，即：

$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n cos(n \Omega t)} + \sum_{n=1}^{\infty}{bn sin(n \Omega t)}$$ $$f(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}{A_n cos(n \Omega t + \varphi _n)}$$ $$f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}{F_n e^{(jn \Omega t)} },其中F_n = \frac{1}{2}{A_n e^{j \varphi _n} } = |F_n|e^{j \varphi _n}$$

根据书上描述，为了直观的表示出信号的振幅和相位随频率变化的特性，引入频谱的概念。

信号的频谱是信号的某种特征量(指振幅和相位)随信号频率变化的关系，所画出的图形称为信号的频谱图。

周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即：

1. 将$A_n-ω$和$\varphi _n -ω$的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。

2. 也可画$|F_n|-ω$ 和 $\varphi _n -ω$的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。注意$|F_n|$和$F_n$

4.3.2 周期矩形脉冲的频谱

首先计算一下周期矩形脉冲的频谱

周期矩形脉冲的频谱如下，由计算可知$F_n$为实数，故相位谱为0，可以不用画出来，这里直接画$F_n$。注意谱线的间隔均为$Ω$

下面讨论该频谱的特点：

1. 包络线形状：抽样函数

2. 其最大值在$n=0$处，为$\frac{\tau}{T}$

3. 离散谱(谐波性)，谱线位于$w=nΩ$处

4. 第一个零点坐标$w=\frac{2\pi}{\tau}$。第一个零点集中了信号绝大部分能量(平均功率)，一般把第一个零点作为信号的频带宽度，简称带宽。记为$B_w = \frac{2\pi}{\tau}$或$B_f = \frac{1}{\tau}$，带宽与脉宽成反比。

借周期矩形信号频谱的特点，总结出周期信号频谱的一般特点：

1. 周期信号的频谱具有谐波（离散）性，谱线位置是基频$Ω$的整数倍。
2. 一般具有收敛性，总趋势减小。
3. $T$一定，$\tau$减小，此时$Ω$（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：$\frac{w_1}{Ω} = \frac{\frac{2\pi}{\tau} }{\frac{2\pi}{T} }$增加。
4. 同理可以推出，当$T$增大时，间隔$Ω$减少，频谱变密，幅度$\frac{\tau}{T}$减小。
5. 如果周期T无限增长，则谱线间隔将趋近于零，周期信号变为非周期信号，离散谱过渡到连续谱。

4.3.3 周期信号的功率—Parseval等式

周期信号一般是功率信号(若信号$f(t)$的功率有界，即$P<\infty$，则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时$ W=\infty $)

$$P = {(\frac{A_0}{2} )}^2+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2} {A_n}^2} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{|F_n|^2}$$

该式是帕斯瓦尔恒等式，帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现是周期信号功率=直流功率+各次谐波功率

4.4 非周期信号的频谱

4.4.1 傅里叶变换

全面我们就已经引入了在频域分析中时域中的周期信号我们使用傅里叶级数展开分析，时域中的非周期信号我们使用傅里叶变换分析的思想，还有非周期可以看作是周期的一种特殊情况，即非周期是周期为无穷的一种周期情况。类比我们在分析周期信号的频谱时（复指数形式）的结论，非周期信号的频谱分析有如下的变化：

$$频谱：F_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} }{f(t)e^{-jn \Omega t} }dt，当T\rightarrow\infty时，F_n无穷小$$ $$谱线间隔：Ω = \frac{2\pi}{T}，当T\rightarrow\infty时，Ω无穷小$$ $$离散谱\rightarrow连续谱，幅度无穷小$$

综上，再用$F_n$描述频谱就不合适了。因为虽然各频谱幅度无穷小，但是这些无穷小之间保持一定的比例关系，因此引入频谱密度函数的概念。

4.4.1.1 傅里叶变换式

从傅里叶系数$F_n$入手：

$$傅里叶系数：F_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2}}{f(t) e^{-jn \Omega t} }dt$$

对其做如下变换

$$F_n T= \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2}}{f(t) e^{-jn \Omega t} }dt$$

考虑到$T\rightarrow\infty$，$nΩ \rightarrow w$(由离散变量变为连续量)，我们将频谱密度函数定义为：$F(jw)=\lim_{T \rightarrow \infty}{F_nT}$，可得：

$$F(jw) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-jwt} }dt$$

上式就是傅里叶变换式。

4.4.1.2 傅里叶逆变换式

从傅里叶级数展开(复指数形式)式入手：

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_n e^{jn \Omega t} }$$

对其做如下变换

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_n T e^{jn \Omega t} \frac{1}{T}}$$

考虑到：$T\rightarrow \infty$，$\Omega \rightarrow 无穷小$，记为$dw$；$n\Omega \rightarrow w$（由离散量变为连续量）；$\frac{1}{T}=\frac{\Omega}{2\pi} \rightarrow \frac{dw}{2\pi}$同时，$\sum \rightarrow \int$可得：

$$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F(jw) e^{jwt} }dw$$

上式就是傅里叶逆变换式。

4.5 常见信号的傅里叶变换

4.5.1 门信号

4.5.2 单边指数信号

4.5.3 双边指数信号

4.5.4 冲激函数与冲激偶

冲击函数和冲激偶的积分：$f(t)\delta(t) = f(0)\delta (t),\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)\delta(t)}dt=f(0)$，冲激函数的抽样性。

$f(t) \delta ^ \prime (t) = f(t)|{t=0} \delta ^ \prime (t) - f ^ \prime (t)|{t=0} \delta(t), \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \delta ^ \prime (t)}dt = -f ^{\prime} (0)$

4.5.5 直流信号

问题：有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如 1，e(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。

方法：可构造一函数序列$fα (t)$逼近${ f(t) }$ ，即$f(t) = lim{α \rightarrow \infty}{fα (t)}$ 。其中$fα (t)$满足绝对可积条件，并且${ fα (t) }$的傅里叶变换所形成的序列${ Fα (jw) }$是极限收敛的，则可定义$f(t)$的傅里叶变换$F (jw)$为$F(jw) = lim{α \rightarrow \infty}{Fα (jw)}$，这样定义的傅里叶变换也被称为广义傅里叶变换。（这里因为t是自变量，所以要求α趋近于无穷）

广义傅里叶变换法

利用傅里叶变化性质的对称性

4.5.6 符号信号

4.5.7 阶跃信号

计算阶跃函数寻找的$f_α$分别为$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{2} sgn(t)$

4.5.8 本节小结

傅里叶变换：$F(jw) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-jwt} }dt$

傅里叶逆变换：$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F(jw)e^{jwt} }dw$

傅里叶级数（复指数形式）：$f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}{F_n e^ {jn\Omega t} }$

傅里叶系数：$Fn (t) = \frac{1}{T} \int{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} }{f(t) e^{-jn \Omega t}}dt,n=0,1,2,\cdots$

傅里叶级数（三角形式）：$f(t) = \frac{a0}{2} + \sum{n=1}^{\infty}{an cos(nΩt) + \sum{n=1}^{\infty}{b_n sin(n \Omega t)} }$

傅里叶系数：$an = \frac{2}{T} \int{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) \cos(n \Omega t)}dt,n=1,2,3,\cdots$，$bn = \frac{2}{T} \int{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t) \sin(n \Omega t)}dt,n=1,2,3,\cdots$

傅里叶级数（三角密集形式）：$f(t) = \frac{A0}{2} + \sum{n=1}^{\infty}{An \cos(n \Omega t + \varphi n)}$

傅里叶系数：$A_0 = a_0$，$A_n = \sqrt { {a_n}^2 + {b_n}^2}$，$\varphi _n = -arctan{\frac{b_n}{a_n}}$

本节所介绍的傅里叶变换均满足线性性质

$g_{\tau}t$	$e^{-\alpha t}{\varepsilon (t)}，\alpha>0$	$e^{-\alpha \vert t \vert },\alpha >0 $	$\delta (t),\delta ^\prime (t)$	$R$	$sgn(t)$	$\varepsilon (t)$
$\tau Sa(\frac{w\tau}{2})$	$\frac{1}{jw+\alpha}$	$\frac{2\alpha}{w^2 + \alpha ^2}$	$1，jw$	$2\pi \delta (w)$	$\frac {2}{jw}$	$\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)$

4.6 傅里叶变换的性质

4.6.1 线性

若$f_1(t) \leftrightarrow F_1(jw)$，$f_2(t) \leftrightarrow F_2(jw)$，则对任意常数$a_1和a_2$，有：$a _1 f_1(t)+a_2 f_2(t) \leftrightarrow a_1 F_1(jw)+a_2 F_2(jw)$。线性既满足两个条件：① 齐次性；② 叠加性。

4.6.2 奇偶虚实性

如果$f(t)$是一个是函数，且$f(t) \leftrightarrow F(jw) = |F(jw)|e^{j\varphi(w)} = R(w)+jX(w)$，其中$|F(jw)| = \sqrt{R^2 (w) + jX(w)}$，$\varphi(x) = arctan(\frac{X(w)}{R(w)})$。则有：

1. $R(w) = R(-w),X(w) = -X(-w)$；$F(jw) = F(-jw),\varphi(w) = -\varphi(-w)$。
2. $f(-t) \leftrightarrow F(-jw) = F*(jw)$。
3. 若$f(t) = f(-t)$，则$X(w) = 0$，$F(jw) = R(w)$。
4. 若$f(t) = -f(-t)$，则$R(w) = 0$，$F(jw) = jX(w)$。

性质3，4揭示了奇偶虚实性，即在时域中的奇函数，对应于频域中的纯虚数函数；时域中的偶函数，对应于时域中的纯实数函数。

奇偶虚实性的证明（采用欧拉公式展开）

4.6.3 对称性

若$f(t) \leftrightarrow F(jw)$，则$F(jt) \leftrightarrow 2 \pi f(-w)$。上式表明，如果函数$f(t)$的频谱函数为$F(jw)$，那么时间函数$F(jt)$的频谱函数是$2 \pi f(-w)$

对称性的证明

4.6.4 尺度变换

若信号$f(t)$在时间坐标上压缩到原来的$\frac{1}{a}$，那么其频谱密度函数在频率坐标上将展宽$a$倍，同时依据能量守恒，其幅度减小到原来的$\frac{1}{|a|}$。也就是说，在时域中信号占据时间的压缩，对应其频谱在频域上中信号占有频带的扩展，或者反之。

若$f(t) \leftrightarrow F(jw)$，则$f(at) \leftrightarrow \frac{1}{a} F(j \frac{w}{a})$，其中，a是一个非零是常数。由此可以得到$f(-t) \leftrightarrow F(-jw) = F*(jw)$，即时域反转，频域也反转。

由尺度变换特性可知，信号的持续时间和信号的占有频带成反比。例如，对于门函数$g_{\tau}(t)$，其频带宽度$🔺f = \frac{1}{\tau}$。在电子技术中，有时需要将信号持续时间缩短，以加快信息传输速度，这就不得不在频域内展宽频带。

尺度变换的证明

尺度变换的意义

4.6.5 时移特性

时移特性也叫延时特性。它可以表述为：若$f(t) \leftrightarrow F(jw)$，则$f(t \pm t_0) \leftrightarrow e^{\pm jwt} F(jw)$。该式表示，在时域中信号沿时间轴右移(即延时)$t_0$，其在频域中所有频率分量相应落后相位$wt_0$，而其幅度保持不变。

时移特性的证明

4.6.6 频移特性

频移特性也称调制特性。它可以描述为：若$f(t) \leftrightarrow F(jw)$，则$f(t)e^{\pm jw_0t} \leftrightarrow F[j(w-(+)w_0))$。该式表明，在时域中将信号$f(t)$乘以因子$e^{jw_0t}$,对应在频域中将频谱函数沿$w$轴右移$w_0$;在时域中将信号$f(t)$乘以因子$e^{-jw_0t}$，对应在频域中将频谱函数左移$w_0$。

频移特性的证明

频移特性的应用

4.6.7 卷积定理

1. 时域卷积：若$f_1(t) \leftrightarrow F_1(jw),f_2(t) \leftrightarrow F_2(jw)$，则$f_1(t)*f_2(t) \leftrightarrow F_1(jw)F_2(jw)$。时域卷积对应频域乘积
2. 频域卷积：若$f_1(t) \leftrightarrow F_1(jw),f_2(t) \leftrightarrow F_2(jw)$，则$f_1(t)f_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(jw)*F_2(jw)$

频移特性的应用

利用时域卷积定理求解$ t\varepsilon(t)$的频谱函数时为什么不能直接使用$\frac{1}{jw}+\pi \delta (t)$与 $\frac{1}{jw}+\pi \delta (t)$相乘求解$ t\varepsilon(t)$的频谱函数？

答：在求解$t\varepsilon(t)$的频谱函数时，如果直接使用$\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)$与$\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)$相乘，将得到如下结果：

$$(\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega))\cdot (\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega))=\frac{1}{-w^2}+\frac{2\pi}{j\omega}\delta(\omega)+\pi^2\delta^2(\omega)$$

其中，$\delta^2(\omega)$表示$\delta(\omega)$的平方，由于$\delta(\omega)$本身就是一个非常特殊的函数，它的平方并不意味着得到一个有效的数学表达式。因此，我们不能直接使用$\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)$与$\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)$相乘来求解$t\varepsilon(t)$的频谱函数。实际上，正确的做法应该是通过单位阶跃函数的频谱函数和$t$的频谱函数的乘积来求解$t\varepsilon(t)$的频谱函数，如上一个回答中所述。

如何利用时域卷积定理进行求解？

答：假设$t\varepsilon(t)$表示$t$倍单位阶跃函数，即：

$$t\varepsilon(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & t \geq 0 \end{cases}$$

根据时域卷积定理，$t\varepsilon(t)$的频谱函数$T(\omega)$可以表示为单位阶跃函数的频谱函数$U(\omega)$和$t$的频谱函数$F(\omega)$的乘积：

$$T(\omega) = U(\omega) \cdot F(\omega)$$

其中，$U(\omega)$和$F(\omega)$分别为：

$$U(\omega) = \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega)$$ $$F(\omega) = 2\pi\delta(\omega) - \frac{1}{j\omega^2}$$

代入上式，得到：

$$T(\omega) = \left( \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega) \right) \cdot \left( 2\pi\delta(\omega) - \frac{1}{j\omega^2} \right)$$

化简上式，得到：

$$T(\omega) = -\frac{2\pi}{j\omega^2} + \pi\delta(\omega) \cdot \frac{1}{j\omega} = \begin{cases} -\frac{2\pi}{j\omega^2}, & \omega \neq 0 \\ \infty, & \omega = 0 \end{cases}$$

因此，$t\varepsilon(t)$的频谱函数为：

$$T(\omega) = \begin{cases} -\frac{2\pi}{j\omega^2}, & \omega \neq 0 \\ \infty, & \omega = 0 \end{cases}$$

注意，当$\omega = 0$时，$T(\omega)$为无穷大，表明$t\varepsilon(t)$的直流分量为无穷大。

4.6.8 时域微分和积分

这里研究信号$f(t)$对时间t的微分和积分的傅里叶变换。若$f(t) \leftrightarrow F(jw)$，则$f^{(n)} (t) \leftrightarrow (jw)^n F(jw)$，$\int_{-\infty}^{t} {f(x)}dx \leftrightarrow \pi F(0)\delta (w) + \frac{F(jw)}{jw}$

时域微分和积分的证明

4.8.9 频域微分和积分

若$f(t) \leftrightarrow F(jw)$，则$(-jt)^n f(t) \leftrightarrow F^{(n)}(jw)$，$\pi f(0) \delta(t) + \frac{1}{-jt}{f(t)} \leftrightarrow \int{-infty}^{w}{F(jx)}dx$，$f(0) = \frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{\infty}{F(jw)}dw$

4.8.10 相关定理

相关定理及其证明

4.7 能量谱和功率

4.7.1 帕斯瓦尔关系式

帕斯瓦尔关系式：$E = \int{-\infty}^{\infty} {|f(t)|^2}dt = \frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{\infty}{|F(jw|^2}dw$

相关定理及其证明

4.7.2 能量谱

能量谱是指单位频率的信号能量，记为E(w)。在频带$df$内信号的能量为$E(w)df$，因而信号在整个频率范围的总能量为$E = \int{-\infty}^{\infty}{E(w)}df = \frac{1}{2\pi}{\int{-\infty}^{\infty}{E(w)}dw}$。由帕斯瓦尔关系式 $E = \int{-\infty}^{\infty} {|f(t)|^2}dt = \frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{\infty}{|F(jw|^2}dw$，可得：$E(w) = |F(jw)|^2$。

由相关定理可知：$R(\tau) \leftrightarrow E(w)$。$R(\tau) = \int{-\infty}^{\infty}{f(t)f(t-\tau)}dt = \int{-\infty}^{\infty}{f(t+\tau)f(t)}dt = f(t)*f(-t)$。因此：$R(\tau) \leftrightarrow E(w)$。文字描述为：能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。

4.7.3 功率谱

功率谱是指单位频率的信号功率，记为：$p(w)$。在频带$df$内信号的功率为$p(w)df$，因而信号在整个频带范围内的总功率为：$P = \int{-\infty}^{\infty}{p(w)}df = \frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{\infty}{p(w)}dw$ 。由此可知：$p(w) = \lim_{T \rightarrow \infty}{\frac{|F_T(jw)|^2}{T}}$

4.8 周期信号的傅里叶变换

本章延续对周期信号的傅里叶级数展开的讨论以及非周期信号的傅里叶变换的讨论，讨论周期信号的傅里叶变换，以及傅里叶变换和傅里叶级数之间的关系。这样就能把周期信号与非周期信号的分析方法进行统一，使得傅里叶变换的应用更加广泛。

4.8.1 正、余弦信号的傅里叶变换

4.8.2 一般周期函数的傅里叶变换

考虑一个周期信号$fT (t)$，周期为$T$。根据傅里叶级数展开，该信号可以展开为$f_T (t) = \sum{n=-\infty}^{\infty}{Fn e^{jn\Omega t}}$，其中$\Omega = \frac{2\pi}{T}$是基波角频率，$F_n$是傅里叶系数：$F_n = \frac{1}{T}\int{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t)e^{-jn\Omega t}dt}$。

对式$fT (t) = \sum{n=-\infty}^{\infty}{Fn e^{jn\Omega t}}$的等号两端同时取傅里叶变换，这里$e^{jn\Omega t}$看作$1*e^{jn\Omega t}$，应用傅里叶变换的线性性质，并考虑到$F_n$不是时间t的函数，以及$F_n = \frac{1}{T}\int{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t)e^{-jn\Omega t}dt}$，得到$F(fT (t)) = 2\pi \sum{n=-\infty}^{\infty}{F_n \delta (w-n\Omega)}$

一般周期函数的傅里叶变换

以上两题的频谱函数图像

4.8.3 傅里叶系数与傅里叶变换的关系

周期信号的傅里叶系数$F_n$等于$F_0(jw)$在频率为$nΩ$处的值乘以$\frac{1}{T}$，这提供了一种新的求傅里叶系数的方法。

$$w \leftrightarrow nΩ,f_0(t)\leftrightarrow f_T(t), F_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f_T(t)e^{-jnΩt}dt}$$

4.9 取样定理

4.9.1 取样的概念

我们如何将模拟型号与数字信号联系起来？二者之间的桥梁是什么？为了解决这个问题，我们使用A\D转换器。A\D转换的基本步骤包括：取样-保持-量化-编码。这其中的采样步骤就运用我们要学习的采样定理。

什么是采样？所谓采样，就是利用采样脉冲序列$p(t)$从连续信号$f(t)$中抽取一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为采样信号$f_s (t)$。

取样的数学模型及物理实现，是使用乘法器进行取样的。

4.9.2 取样的两种实现方式

取样的两种实现方式分别是自然取样以及理想取样。

1. 自然取样：取样脉冲$p(t)$是矩形，因$f_s(t)=f(t)p(t)$，取样脉冲信号的顶部在取样期间随$f(t)$而变化，故称为自然取样。

1. 理想取样：取样脉冲$p(t)$是周期性的单位冲激信号$\delta _T (t)$，其取样时间无穷段，连续信号在$nT_s$时刻的幅值被精确的保留下来，故称为理想抽样。

4.9.3 取样过程分析

对抽样过程的分析，我们关注以下3个问题：

1. 取样前后信号的时间特征有何变化？（由连续变离散）
2. 取样前后信号的频谱有何变化？
3. 取样满足什么条件，才能从取样信号中将原连续信号恢复出来？

下面以理想取样为例对取样过程进行分析：

时域分析

$$p(t) = \delta _T (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta (t-nT_s)};f_S = f(t)\delta _T (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{f(nT_s) \delta (t-nT_s)}$$

频域分析

$$P(jw) = w_s \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta (w-nw_s)};F_s(jw)=\frac{1}{2\pi}F(jw)*P(jw)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{F[j(w-nw_s)]}$$

通过理论分析可以知道，取样信号频谱和原连续信号频谱的关系是$Fs(jw)=\frac{1}{2\pi}F(jw)*P(jw)=\frac{1}{T_s}\sum{n=-\infty}^{\infty}{F[j(w-nw_s)]}$

结论:取样信号的频谱是将原信号频谱依次搬移到$w_S$的整数倍处，信号幅度下降为原来的$\frac{1}{T_S}$。即取样信号的频谱是原信号频谱的周期性延拓，周期就是取样脉冲的周期。

时域取样（离散化）相当于频谱周期化，周期为取样脉冲的角频率$w_s$。

根据以上结论，我们讨论不同的$w_s$和$w_m$的关系，对取样过程中的三种状态进行讨论。

我们要恢复原来的信号，当取样信号的频谱没有发生混叠时，通过适当的低通滤波器，即可由取样信号恢复处原连续信号。

结论：对一个连续信号进行采样，并可以将其从取样信号中恢复出来，必须满足以下条件：

1. $f(t)$必须是频带有限信号。
2. 取样频率不能太低，即$2f_m \leq f_s$，或者说取样间隔不能太大，即$\frac{1}{2f_m}\leq T_S$，否则会发生混叠。

4.9.4 信号恢复过程

4.9.5 抽样定理

通过上述对恢复过程的分析，可以归纳出时域采样定理：一个频谱在区间$(-w_n,w_m)$以外为零的频带有限信号$f(t)$，可唯一地由其在均匀间隔$Ts(T_s < \frac{1}{2f_m})$上的样点值$f(nT_s)$确定。

奈奎斯特采样频率与间隔：

1. $f_s = 2f_m$是允许的最低抽样频率，称为奈奎斯特抽样频率
2. $T_s = \frac{1}{2f_m}$是允许的最大抽样间隔，称为奈奎斯特抽样间隔

利用时域和频域的对称性：

1. 分析频域采样过程，即观察信号在取样前后频域、时域波形的变化
2. 分析信号恢复过程，归纳总结出频域采样定理

根据时域和频域的对称性，可以推导出频域取样定理：一个在时域区间$(-t_m,t_m)$以外为零的有限时间信号$f(t)$的频谱函数$F(jw)$，可唯一地由其在均匀频率间隔$f_s(f_s < \frac{1}{2t_m})$上地样点值$F(jnw_s)$确定